完美胚环

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• $p$ 为一固定素数.

完美胚环是完美环的混特征模拟, 由 Bhargav Bhatt, Matthew Morrow, Peter Scholze 于 2016 年引入.

1历史

(Faltings ... Fontaine ... Scholze 2012 ... Bhatt–Morrow–Scholze 2016 ...)

2定义

定义 2.1. 称环 $R$ 为完美胚环, 指的是存在完美棱镜 $(A,I)$ 使得 $R=A/I$. 具体地说就是存在特征 $p$ 完美环 $S$ 及其 Witt 环中的元素 $d={\sum }_{i=0}^{\infty }[d_i]p^i$, 满足 $S$ 为 $d_0$-完备, $d_1\in S^{\times }$, $R=W(S)/d$.

注 2.2. 特别地, 由于 $d_0=0$ 时 $W(S)/d=S$, 故而完美环都是完美胚环. 一般的完美胚环不要求 $d_0=0$ 而只要求 $S$ 为 $d_0$-完备, 故可看作完美环沿混特征方向的 “形变”.

注 2.3. “完美胚环” 一词在文献中还有一个含义: 完美胚解析环, 指的是解析 Huber 对 $(R,R^{+})$, 满足 $R^{+}$ 为完美胚环. 本条目中的概念, 在需要与之区分时, 常称为整完美胚环 (但这和整环毫无关系). 关于完美胚解析环的性质, 参见完美胚空间条目.

3性质

首先, 完美胚环与完美棱镜所含信息一样.

定理 3.1. 完美胚环范畴与完美棱镜范畴等价. 两边的函子分别为 $(A,I)\mapsto A/I$ 与 $R\mapsto (A_{\inf }(R),\ker (\theta ))$. 这里 $A_{\inf }(R)=W(R^{♭})$, $\theta$ 为从 $A_{\inf }(R)$ 到 $R$ 的自然映射, 参见条目 $A_{\inf }$.

以下是完美胚环的另一些刻画.

定理 3.2. $R$ 为完美胚环等价于:

•	$R$ 为 $p$-完备;
•	自然映射 $\theta :A_{\inf }(R)\to R$ 是满射, 核为可逆理想;

也等价于:

•	存在 $\varpi \in R$, 满足 ${\varpi }^p\mid p$ 且 $R$ 为 $\varpi$-完备;
•	$R/p$ 的 Frobenius 映射是满射;
•	自然映射 $\theta :A_{\inf }(R)\to R$ 的核为主理想;

事实上, 上面这三条是完美胚环的原始定义.

引理 3.3. 设 $R$ 为完美胚环. 则:

1.	存在 $\varpi \in R$ 使得 ${\varpi }^p\in p{R}^{\times }$.
2.	对任一 $\varpi \in R$ 满足 ${\varpi }^p\mid p$ 且 $R$ 为 $\varpi$-完备, 存在 $u\in R^{\times }$ 使得 $u\varpi$ 有相容的 $p^{\infty }$ 次方根.

以下定理将完美胚环分解为 $\varpi$-无挠部分和 ${\varpi }^{p^{-\infty }}$-挠部分.

定理 3.4. 设 $\varpi \in R$ 满足 ${\varpi }^p\mid p$, $R$ 为 $\varpi$-完备, $\varpi$ 有相容的 $p^{\infty }$ 次方根. 以 $\overline{R}$ 记 $R$ 商去其 ${\varpi }^{\infty }$-挠部分, 为 $\varpi$-无挠. 则 $\overline{R}$, $R/({\varpi }^{p^{-\infty }})$, $\overline{R}/({\varpi }^{p^{-\infty }})$ 三者都是完美胚环, 且$$R=\overline{R}{\times }_{\overline{R}/({\varpi }^{p^{-\infty }})}R/({\varpi }^{p^{-\infty }}).$$

推论 3.5. 完美胚环都既约.

4例子

•	特征 $p$ 环完美胚当且仅当完美.
•	混特征的完美胚环最简单的例子便是$${\mathbb{Z}}_p^{\text{cycl}}={\left(\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathbb{Z}}_p[{\zeta }_{p^n}]\right)}_p^{\wedge }.$$它对应的棱镜是 $({\mathbb{Z}}_p[[q-1]],([p{]}_q))$ 的完美化, 其中 $\delta (q)=0$, $[p{]}_q=1+q+\cdots +q^{p-1}$.

5相关概念

术语翻译

完美胚环 • 英文 perfectoid ring • 德文 perfecktoider Ring • 法文 anneau perfectoïde • 拉丁文 anellus perfectoides • 古希腊文 τελειοειδὴς δακτύλιος