香蕉空间: 写作计划

以下列出了各个数学分支, 以及每个数学分支中最重要的概念, 作为香蕉空间写作的参考. 一些模板尚未创建或不完整, 模板中已写的页面也未必完整.

注意不要把过细的数学分支放在此页面中, 例如概形论、计数几何等. 它们是代数几何的子分支.

1数学的基础

数理逻辑

逻辑学

基本概念

命题 • 真值 • 相继式、判断、推导规则 • 逻辑连接词 • 逻辑和谐

命题逻辑

真、假 • 或、与、非、蕴涵 • 排中律 • Heyting 代数、Boole 代数

谓词逻辑

一阶逻辑 • 一阶语言 • 一阶理论 • 二阶逻辑 • 高阶逻辑 • 谓词 • 全称量词、存在量词

模型论

模型 • Gödel 完备性定理 • 紧性定理 • 量词消去

亚结构逻辑

线性逻辑 • 相关逻辑 • 仿射逻辑 • 顺序逻辑 • 伴随逻辑

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集合论

公理系统

Zermelo–Fraenkel 集合论 • 选择公理 • von Neumann–Bernays–Gödel 集合论

概念

集合 • 类 • 序数 • 基数 • 势 • 共尾类 • 滤子 • 超滤

构造

空集 • 单点集 • 子集 • 交集 • 并集 • 差集 • 幂集 • Descartes 积 • 无交并 • 映射 • 单射、满射、双射 • 像、原像 • 关系、运算

定理

良序定理 • Zorn 引理 • Gödel 不完备性定理 • 力迫法

假设

连续统假设 • 奇异基数假设 • 强连续统假设 • 可构造性公理 • Suslin 树 • 菱形原理 • Martin 公理 • 不可达基数

模型

von Neumann 宇宙 • Gödel 可构造宇宙 • Grothendieck 宇宙

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类型论

基本概念

类型 • 语境 • 替换操作 •

λ

编码 • Curry–Howard 对应 • 模式匹配

一般类型论

简单类型

λ

演算 • 函数、积、无交并 • 归纳类型、余归纳类型 (互拟) • 自然数 • 纯类型论、F 系统 • 子类型

依值类型论

Martin-Löf 类型论 • 宇宙、命题宇宙、集合 • 相等类型 •

W

类型、

M

类型 • 观测类型论 • 构造演算

同伦类型论

圆周、区间、纬悬 • 逻辑截断、截断 •

n

-类型 • 高阶归纳类型 • 立方类型论 • 高阶观测类型论

类型论性质

正规性、典范性 • Tait 可计算性 • 一致性 • 参数性 • 合流性 • 非直谓性 • 类型不变性

语义与模型

范畴语义、概括范畴、C 系统 • 语汇理论 • 偏等关系语义 • 具现

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2范畴论

普通范畴论

范畴论

基本概念

范畴 • 群胚 • 函子 • 自然变换 • 自然同构 • 范畴等价 • 交换图

范畴的构造

子范畴 • 全子范畴 • 反范畴 • 积范畴 • 函子范畴 • 俯范畴、仰范畴 • 逗号范畴 • 纤维积范畴 • 粘连范畴 • 局部化

万有构造

万有构造 • 可表函子 • 伴随函子 • Kan 扩张 • 余极限、极限 • 始对象、终对象、零对象 • 余积、积、双积 • 推出、拉回 • 余等子、等子 • 余核、核 • 余端、端 • 余像、像

范畴的结构

加性范畴 • 正合范畴 • 拟 Abel 范畴 • Abel 范畴 • 三角范畴 • 微分分次范畴 • 幺半范畴 • 对称幺半范畴 • 范畴模 • 纤维范畴 • 群胚纤维范畴 • 弱等价范畴 • 模型范畴

范畴的性质

带点范畴 • 余完备范畴、完备范畴 • 积闭范畴 • 可表现范畴 • 可达范畴

范畴代数

范畴代数 • 幺半对象 • 群对象 • 模对象 • 单子 • 单子代数 • 算畴 • 算畴代数

层论

预层 • Yoneda 引理 • 景 • 层 • 广义对象 • 意象

推广

充实范畴 • 内范畴 • 双范畴 •

n

重范畴 • 多元范畴 •

2

-范畴 •

\infty

-范畴

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同伦代数

范畴

模型范畴 • 纤维化、余纤维化、拟同构 • 弱分解系 • 同伦 • 同伦范畴

例子

拓扑空间范畴 • 链复形范畴

函子

导出函子 • Quillen 伴随 • Quillen 等价

单纯集

单纯集 • 单纯集范畴 • 标记单纯集 • Kan 复形、拟范畴 • 奇异单纯集、几何实现 • 脉 • 单纯范畴 • 实现–脉伴随 • 单纯同调 • 单纯对象 • Dold–Kan 对应 • Segal 空间 • 完备 Segal 空间

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高阶范畴论

基本概念

\infty

-范畴

\infty

-范畴 •

\infty

-群胚 •

(\infty, 1)

-范畴 •

(\infty, 1)

-函子 •

(\infty, 2)

-范畴 •

(\infty, n)

-范畴 •

(\infty, \infty)

-范畴

n

-范畴

2

-范畴 •

2

-函子 •

2

-群胚 •

(2, 1)

-范畴 •

n

-范畴 •

n

-函子 •

n

-群胚 •

(n, 1)

-范畴 •

(n, r)

-范畴

万有构造

伴随

(\infty, 1)

-函子 •

(\infty, 1)

-极限 • 同伦余积、同伦积 • 同伦推出、同伦拉回 • 同伦余等子、同伦等子

性质

可表现

(\infty, 1)

-范畴 • 稳定

(\infty, 1)

-范畴 • 纤维

(\infty, 1)

-范畴 •

\infty

-群胚纤维

(\infty, 1)

-范畴

构造

局部化

(\infty, 1)

-范畴 • 稳定化 • 生象化

意象论

(\infty, 1)

-意象 •

(\infty, 1)

-层 •

\infty

-叠

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3代数学

线性代数

基本构造

向量空间 • 子向量空间 • 商向量空间 • 直和 • 直积

向量与向量组

向量 • 线性无关向量组 • 线性生成空间 • 基 • 维数 • 线性方程组

线性映射

线性函数 • 线性映射 • 线性变换 • 秩 • 核 • 余核 • 特征值 • 特征子空间

矩阵论

矩阵 • 矩阵加法 • 矩阵乘法 • 转置 • 行列式 • 矩阵变换 • Gauß 消元法 • 相抵标准型 • 相似标准型 • 相合标准型 • 奇异值分解 • 极分解

双线性型

双线性型 • 二次型 • 内积空间 • 辛向量空间 • Euclid 向量空间 • Hermite 向量空间 • 自伴变换 • 酉变换 • Hermite 变换

变换群

一般线性群 • 特殊线性群 • 正交群 • 特殊正交群 • 酉群 • 辛群

多重线性代数

对偶空间 • 同态空间 • 张量积 • 张量 • 张量代数 • 对称代数 • 外代数

推广

模 • 拓扑向量空间

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群论

几何群论可能也可以加进去.

群论

基本概念

群 • Abel 群 • 群作用

经典的群

平凡群 • 循环群 • 自由群 • 置换群 • 交错群 • 二面体群 • 四元数群 • 线性群 • 仿射群 • 魔群

子群

子群 • 生成子群 • 正规子群 • 中心 • 正规化子 • 中心化子 • 换位子群 • Sylow 子群

群的构造

商群 • 交换化 • 直积 • 半直积

群的性质

有限群 • 有限生成群 • 单群 • 可解群 • 幂零群 •

p

-群

群表示论

群作用 • 群表示论 • 群表示 • 有限群常表示论 • 有限群模表示论 • 置换群表示论 • Deligne–Lusztig 理论

附加结构

拓扑群 • Lie 群 • 代数群

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非交换代数

基本概念

环 • 结合代数 • 环同态 • 子环 • 商环 • 理想 • 极大理想

半单性

Jacobson 根 • 半单环 • Artin–Wedderburn 定理 • 中心单代数 • Brauer 群 • 除环

箭图

箭图 • 箭图代数 • 箭图表示 • 有限型箭图表示论 • 仿射型箭图表示论 • 箭图表示模空间

表示论

代数表示 • Morita 等价 • 斜置模 • 遗传范畴 • 最高权范畴 • Hall 代数

例子

矩阵代数 • Hecke 代数 • 泛包络代数 • 量子群

附加结构

Frobenius 代数 • Hopf 代数 • 分次环 • 微分分次代数

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交换代数

环与理想

交换环 • 理想 • 素理想 • 素谱 • 极大理想 • 幂零根 • Jacobson 根 • 准素分解 • 结合素理想

整环

整环 • 整闭整环 • Dedekind 整环 • 唯一分解整环 • 主理想整环 • Euclid 整环 • 赋值环 • 离散赋值环

有限性

Noether 环 • Artin 环 • 有限同态 • 整同态 • 日本环

局部化

局部环 • 局部化 • Hensel 环 • 完备化 • 分式域

维数理论

维数理论 • Krull 维数 • 悬链环 • 深度 • Cohen–Macaulay 环 • Cohen–Macaulay 模 • 同调维数 • Gorenstein 环 • 完全交环 • 正则环

几何性质

Kähler 微分 • 平坦同态 • 光滑同态 • 非分歧同态 • 平展同态

特征

p

环

Frobenius 同态 • 完美环 • 完美胚环 • Witt 环 • 斜置

例子

多项式环 • 整数环

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域论

基本概念

域 • 域扩张 • 特征

代数扩张

代数数 • 代数扩张 • 有限扩张 • 正规扩张 • 可分扩张 • 完美域 • Galois 扩张 • 代数闭域、代数闭包

超越扩张

超越扩张 • 超越数 • 超越度

Galois 理论

Galois 理论 • Galois 群 • Abel 扩张 • Galois 定理 • Galois 反问题 • Galois 上同调 • Galois 表示

应用

三次方程求根公式 • 四次方程求根公式 • 尺规作图 • 折纸

例子

有限域 • 有理数域 • 代数数域 • 实数域 • 复数域 • 有理函数域 • Laurent 级数域 • 分式域

附加结构

序域 • 赋值理论

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模论

构造

模 • 子模 • 商模 • 双模 • 核 • 余核 • 直和 • 直积 • 张量积 • 同态模

有限性

有限生成模 • 有限表现模 • 凝聚模 • Noether 模 • Artin 模 • 长度

分解

单模 • Schur 引理 • 半单模 • 不可分解模 • 合成列 • 首 • 座 • 根

同调性质

投射模 • 内射模 • 平坦模 • 局部自由模 • 自由模

特殊环上模

向量空间 • 主理想整环上有限生成模的结构定理

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同调代数

对象

投射模、投射对象 • 内射模、内射对象 • 平坦模 • 自由模 • 无圈对象

复形

链复形 • 正合列 • 消解 • 链同调 • 链同伦 • 拟同构 • 张量积复形 • 同态复形 • 滤复形 • 双复形 • 谱序列

范畴

加性范畴 • 正合范畴 • Abel 范畴 • 三角范畴 • 导出范畴

函子

正合函子 • 导出函子 • Ext 函子 • Tor 函子

结论

五引理 • 九引理 • 蛇形引理 • 长蛇引理 • Freyd–Mitchell 嵌入定理 • 万有系数定理 • Grothendieck 谱序列

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高阶代数

范畴

稳定

(\infty, 1)

-范畴 • 链复形

(\infty, 1)

-范畴 • 谱

(\infty, 1)

-范畴 • 导出

(\infty, 1)

-范畴

算畴

(\infty, 1)

-算畴 •

(\infty, 1)

-算畴代数

结合代数

A

_{n}

算畴 •

A

_{n}

-代数 •

A

_{n}

-群 •

A

_{\infty}

算畴 •

A

_{\infty}

-代数 •

A

_{\infty}

-群 • 微分分次代数 • 幺半

(\infty, 1)

-范畴

交换代数

E

_{n}

算畴 •

E

_{n}

-代数 •

E

_{n}

-群 •

E

_{\infty}

算畴 •

E

_{\infty}

-代数 •

E

_{\infty}

-群 •

E

_{\infty}

-环 • 交换微分分次代数 • 对称幺半

(\infty, 1)

-范畴

Lie 代数

L

_{\infty}

算畴 •

L

_{\infty}

-代数 • 微分分次 Lie 代数

构造

Hochschild 同调 • 循环同调 • 代数

K

理论 • Koszul 对偶

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表示论

我感觉表示论可以不单列模板, 而是把每个数学结构的表示论放在相应结构的理论的模板中. 每种结构的表示论可以建立更细的模板, 但不宜放在这里.

4数论

初等数论

数

自然数 • 整数 • 有理数 • 整除 • 因数、倍数 • 最大公因数、最小公倍数 • 素数、合数 • 算术基本定理

模算术

同余 • 模算术 • 孙子定理 • Fermat 小定理 • Wilson 定理 • Lagrange 定理 • 原根 • 二次剩余 • 二次互反律

函数

积性函数 • 阶乘 • 组合数 • 因数个数函数 • 因数和函数 • Euler 函数 • 分拆数 • Möbius 函数

方程

勾股方程 • Fermat 方程 • 平方和问题 • Waring 问题 • Pell 方程

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代数数论

局部对象

p

进整数环 • 局部域 • 局部 Galois 群 • 迹 • 范数 • 差 • 判别式 • 非分歧扩张 • 驯分歧扩张 • 惯性子群 • Frobenius 映射

整体对象

代数整数环 • 整体域 • Galois 群 • 赋值 • 加元环 • 理元群 • 类群

类域论

类域论 • 局部类域论 • 整体类域论 • Brauer 群 • 互反律

解析工具

L

函数 • 模形式 • 自守形式 • 自守表示 • Tate 论题

Langlands 纲领

模性定理 • Langlands 纲领 • 局部 Langlands 纲领 • 整体 Langlands 纲领 • 几何 Langlands 纲领

Galois 表示论

Galois 表示 •

ℓ

进 Galois 表示 •

p

进 Galois 表示 •

p

进 Hodge 理论

观点

函数域类比 • 局部–整体原理

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解析数论

模板:解析数论

5拓扑学

一般拓扑

基本对象

拓扑空间 • 度量空间 • 开集、闭集 • 连续映射 • 同胚

构造

带点拓扑空间 • 拓扑子空间 • 商空间 • 积空间、缩积空间 • 无交并空间、一点并空间 • 锥空间 • 映射锥、映射柱 • 映射空间

分离公理

T₀ 空间 • T₁ 空间 • Hausdorff 空间 (T₂) • 正则空间 (T₃) • 完全正则空间 (T_3¹⁄₂) • 正规空间 (T₄) • 完全正规空间 (T₅) • 完美正规空间 (T₆)

紧性

紧空间 •

σ

-紧空间 • Lindelöf 空间 • 列紧空间 • 仿紧空间 • 局部紧空间 • 一点紧化 • Stone–Čech 紧化

连通性

连通空间 • 道路连通空间 • 局部连通空间 • 局部道路连通空间 • 完全不连通空间 • 完全不道路连通空间 • 极不连通空间 • 离散空间 • 单连通空间 • 局部单连通空间 • 半局部单连通空间 • 可缩空间

可数性

第一可数空间 • 第二可数空间 • 可分空间

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代数拓扑

基本对象

拓扑空间 • CW 复形 • 单纯集

同伦论

同伦 • 同伦等价 • 形变收缩 • 基本群 • 基本群胚 • Seifert–van Kampen 定理 • 覆叠空间 • 万有覆叠 • 同伦群 • 弱同伦等价 • CW 逼近定理 • Whitehead 定理 • 纬悬 • 环路空间 • 纤维化 • 余纤维化 • 纤维列 • 余纤维列 • Puppe 序列 • 同伦切除定理 • Freudenthal 纬悬定理 • 稳定同伦论 • 有理同伦论 •

p

进同伦论

同调论

奇异同调 • 奇异上同调 • 胞腔同调 • 胞腔上同调 • 相对同调 • 相对上同调 • Borel–Moore 同调 • 紧支上同调 • 广义同调 • 广义上同调 • 切除引理 • Mayer–Vietoris 序列 • Künneth 定理 • 万有系数定理 • Hurewicz 定理

流形的拓扑

基本类 • Poincaré 对偶 • de Rham 上同调 • Lefschetz 不动点定理 • 配边理论

纤维丛论

纤维丛、拓扑向量丛、主丛 • Thom 同构定理 • Gysin 序列 • Leray–Hirsch 定理 • Leray–Serre 谱序列 • 拓扑

K

理论 • 分类空间 • 示性类

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几何拓扑

(几何拓扑和微分拓扑可能可以合并? )

几何拓扑

基本概念

同痕 • 配边 • 连通和 • 管状邻域 • 横截相交 • 映射类群

环柄论

Morse 理论 • 环柄体 • 割补

二维拓扑

闭曲面分类定理 • Dehn 扭转

纽结论

纽结 • 纽结和 • 素纽结 • 链环 • 纽结不变量

三维拓扑

Heegaard 分解 • Kirby 演算 • 几何化猜想

四维拓扑

怪

R^{4}

• Donaldson 理论

高维拓扑

怪球 • 同伦配边定理 • 广义 Poincaré 猜想

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层论

基本概念

景 • 预层 • 层 • 层化 • 意象 • 位象

附加结构

Abel 层 • 环层 • 模层 • 环化空间 • 局部环化空间

层上构造

截面 • 茎 • 层上同调 • Čech 上同调

六函子

六函子理论 • 拉回层 (

f

_{*}

) • 前推层 (

f

_{*}

) • 紧支前推层 (

f

_{!}

) • 反常拉回层 (

f

_{!}

) • 张量积层 (

- \otimes -

) • 同态层 (

H

o m

(-, -)

) • 基变换定理 • 投影公式

层的性质

松层 • 软层 • 细层 • 拟凝聚层 • 凝聚层 • 可逆层 • 丰沛层 • 局部自由层 • 常值层 • 局部常值层 • 可构造层 • 错致层

层的对偶

凝聚对偶 • Verdier 对偶

推广

叠 •

\infty

-层

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6几何学

Euclid 几何

空间

Euclid 平面 • Euclid 空间 • Descartes 坐标系

图形

直线 • 超平面 • 角 • 多边形、多胞体 • 凸多边形、凸多胞体 • 正多边形、正多胞体、半正多胞体 • 圆 • 圆锥曲线 • 尺规作图、折纸

三角形的几何

三角形 • 内心 • 外心 • 垂心 • 内切圆 • 外接圆 • 九点圆 • Feuerbach 定理 • Miquel 定理 • Simson 定理

射影几何

射影几何 • 射影空间 • 射影平面 • 射影变换 • 射影对偶 • 无穷远点 • 交比 • 调和点列 • Menelaus 定理 • Ceva 定理 • Pappus 定理 • Desargues 定理 • Pascal 定理 • Brianchon 定理

Möbius 几何

Möbius 几何 • Möbius 变换 • 平面反演 • 圆幂 • 根轴 • 共轴圆组 • Ptolemy 定理

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微分几何

基本概念

光滑流形 • 光滑映射 • 局部坐标

映射

微分同胚 • 局部微分同胚 • 嵌入 • 浸入 • 浸没

向量丛

光滑向量丛 • 切空间、切丛 • 余切空间、余切丛 • 法空间、法丛 • 向量场 • Lie 括号 • 微分形式 • 张量场 • 联络 • 协变导数 • 曲率

拓扑性质

Poincaré 对偶 • de Rham 上同调 • 陈–Weil 理论 • Atiyah–Singer 指标定理

微分方程

流 • Lie 导数 • 叶结构 • Frobenius 定理

子学科

微分拓扑 • Riemann 几何 • 辛几何 • 复几何

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Riemann 几何

概念

Riemann 流形 • Riemann 度量 • Levi-Civita 联络 • 曲率 • 标架 • 法坐标

测地线

测地线 • 测地流 • 指数映射 • Jacobi 场 • 割迹 • Morse 理论

子流形

等距嵌入 • 第二基本形式 • Nash 嵌入定理

整体性质

曲率–拓扑对应

例子

球面 • 双曲空间 • Euclid 空间 • 齐性空间 • 对称空间

推广

Finsler 流形 • 伪 Riemann 流形 • Kähler 流形

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辛几何

基本概念

辛流形 • 辛同胚 • Hamilton 向量场 • Poisson 流形 • Poisson 括号 • Darboux 定理

子流形

辛子流形 • Lagrange 子流形 • 特殊 Lagrange 子流形

动量映射

动量映射 • Hamilton 作用 • 辛约化 • Delzant 定理 • 辛环流形

切触几何

切触流形 • Reeb 向量场 • 辛化

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复几何

流形

近复流形 • 复流形 • Kähler 流形 • 超 Kähler 流形 • Stein 流形 • 复代数流形 • Calabi–丘流形

向量丛与层

全纯函数层 • 全纯向量丛 • 全纯切丛、反全纯切丛 • 复微分形式 • Dolbeault 算子 • Dolbeault 上同调 • Hermite 度量 • Hirzebruch–Riemann–Roch 定理

复代数几何

代数几何–解析几何对应 • Hodge 定理 • Hodge 结构 • Lefschetz 大定理 • Griffths 横截性 • Kodaira 嵌入定理 • Riemann 存在定理 • 周定理 • Riemann–Hilbert 对应 • 镜像对称

例子

复射影空间 • 复环面 • Riemann 面 • 复 Abel 簇

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Lie 理论

概念

Lie 群 • Lie 代数 • 指数映射 • 伴随表示 • Lie 群–Lie 代数对应

分解

幂零 Lie 代数 • 可解 Lie 代数 • 半单 Lie 代数 • 单 Lie 代数 • 约化 Lie 代数 • Engel 定理 • Lie 定理

半单理论

半单 Lie 代数 • Borel 子代数 • 极大环子代数 • Killing 型 • Weyl 群 • 根系、根格、权格 • Dynkin 图 • Satake 图 • 实形式 • 紧 Lie 代数 • 极大紧子群

表示论

半单 Lie 代数表示论 • 约化 Lie 代数表示论 • 泛包络代数 • Verma 模 • Schur–Weyl 对偶 • Weyl 特征公式 • 范畴

O

推广

无穷维 Lie 群 • Kac–Moody 群、Kac–Moody 代数 • Lie 型单群 • 代数群 •

p

-Lie 代数

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代数几何

基本对象

仿射概形 • 概形 • 概形态射 • 相对概形 • 代数簇 • 仿射簇 • 射影簇

例子

仿射空间 • 射影空间 • 射影超曲面 • 代数曲线 • 椭圆曲线 • 代数曲面 • K3 曲面 • Abel 簇 • Calabi–丘簇 • Fano 簇 • 环簇 • Graßmann 概形 • Hilbert 概形 • 商模概形 • Shimura 簇

向量丛、
层论

代数向量丛 • 代数线丛 • 丰沛线丛 • 典范丛 • 除子 • 模层 • 拟凝聚层 • 凝聚层 • 完美复形 • 可构造层 • 错致层 • 局部系 • D-模 • Serre 对偶 • Verdier 对偶 • Kähler 微分 • 余切复形、切复形 • 陈类 • Segre类 • 代数

K

理论

上同调

下降 • Zariski 景 • 平展景 • 平坦景 • 凝聚层上同调 • Weil 上同调理论 • 平展上同调 • 晶体上同调 • 刚性上同调 • 棱镜上同调 • 周群 • 母题 • 母题上同调 • Hodge 结构 • 混 Hodge 结构

推广

代数空间 • 代数叠、Deligne–Mumford 叠

观点

相对观点 • 函子观点 • 代数–几何对偶 • 代数几何–解析几何对应

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代数群理论

基本对象

Hopf 代数 • 群概形 • 代数群 •

p

可除群 • 形式群概形 • 形式群律

构造

加法群概形 • 乘法群概形 • Cartier 对偶 • 商群概形

性质

Abel 概形 • 代数环面 • 约化群概形 • 有限群概形 • 幂幺群概形 • 乘性群概形

约化群

分裂约化群 • 拟分裂约化群 • 极大环面 • Levi 子群 • Borel 子群 • 抛物子群 • Weyl 群 • 旗簇

群作用

群概形作用 • 范畴论商 • 商叠 • 几何不变量理论

群表示

代数群表示 • 约化群常表示论 • 约化群模表示论 • 几何 Satake 等价

仿射型群

环路群 • Iwahori 子群 • 抛物 Iwahori 子群 • 仿射 Weyl 群 • 仿射 Graßmann 形

结构

Tits 系 • Bruhat–Tits 楼 • Iwahori–Hecke 代数

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$p$ 进几何

p

进几何

形式几何

I

进拓扑 • 完备环 • 完备化 • 形式谱 • 形式概形 • 代数几何–形式几何对应

刚性几何

Tate 代数 • 仿射胚环 • 仿射胚空间 • 刚性解析簇 • 特殊化映射 • 管状邻域 • 代数几何–刚性几何对应

进制空间

赋值 • Huber 环 • Tate 环 • 进制谱 • 进制空间 • 钻石

完美胚空间

完美胚环 • 完美胚空间 • 斜置 • 斜置等价 • 几乎数学

p

进 Hodge 理论

p

进周期环 • 棱镜 • 棱镜上同调 •

p

进上同调比较定理

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算术几何

指为研究整数上的代数几何引入的理论. (但不同的算术几何差的也挺多的, 比如一元域几何和 Arakelov 几何).

模板:算术几何

组合几何

多胞体

多胞体 • 单形 • 单纯复形 • 建筑 • 扇 • 环簇 • Pick 定理

构形

有限几何 • 超平面构形

堆积与镶嵌

球堆积 • Kepler 猜想 • 镶嵌 • 周期镶嵌 • 非周期镶嵌

热带几何

热带簇 • 热带半环 • Newton 多边形 • Legendre 变换

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非交换几何

模板:非交换几何

高阶几何

微分几何

高阶

轨形 • 微分叠 • Lie 群胚 • Lie 代数胚 • 微分

\infty

-叠 • Lie

\infty

-群胚 • Lie

\infty

-代数胚 • 连贯

(\infty, 1)

代数几何

Deligne–Mumford 叠 • 代数叠 • 代数

\infty

-叠 • 形式模空间

导出

导出概形 • 导出代数叠 • 微分分次代数几何 • 谱代数几何

结构

余切复形、切复形 • 微分形式 • 移位辛结构 • 移位 Poisson 结构

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7分析学

微积分学

实数

实数 • 上、下确界 • 极限 • 级数

一元函数

连续函数 • 介值定理 • 中值定理 • 导数 • 连续可导函数 • Taylor 定理 • Riemann 积分 • Lebesgue 积分 • 微积分基本定理 • 反常积分

多元函数

连续映射 • 微分 • 连续可微映射 • Jacobi 矩阵 • 反函数定理 • 隐函数定理 • 常秩定理 • Lagrange 乘子 • Hesse 矩阵 • 多元 Riemann 积分 • Stokes 定理

函数空间

一致收敛函数列 • Lipschitz 连续函数 • Hölder 连续函数 •

L

_{p}

空间

调和分析

Fourier 级数 • Fourier 变换

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测度论

几何测度论的内容也可以加进去.

测度论

测度

σ

-代数 • 可测空间 • 测度、复测度 • 测度空间 • 乘积测度 • 前推测度 • Carathéodory 扩张定理

函数

可测函数 • Lebesgue 积分 • Lebesgue 点 • Fubini 定理 •

L

_{p}

空间 • Radon–Nikodym 导数 • Riesz 表示定理

例子

计数测度 • Lebesgue 测度 • Haar 测度 • Hausdorff 测度

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复分析

多复变函数的内容可以放在相应的单复变函数的条目里面.

复分析

基本概念

复数 • 全纯函数、全纯映射 • 双全纯映射 • 亚纯函数

全纯性

Cauchy–Riemann 方程 • Cauchy 积分定理 • Cauchy 积分公式 • Morera 定理 • 恒等定理 • 开映射定理 • 最大模原理 • Liouville 定理

全函数

全函数 • Jensen 公式 • 阶 • Weierstraß 乘积公式 • Hadamard 乘积公式 • Picard 小定理

奇点

奇点、极点、本性奇点 • 留数定理 • 辐角原理 • Mittag-Leffler 定理 • Picard 大定理

共形映射

Riemann 映射定理 • 边界对应定理 • Schwarz–Christoffel 公式 • 单值化定理

特殊函数

指数函数 • 对数函数 •

ζ

函数 •

B

函数 •

Γ

函数 • 超几何函数 •

θ

函数 • Jacobi 三重积恒等式

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泛函分析

对象

空间

拓扑向量空间 • 局部凸拓扑向量空间 • 赋范向量空间 • Fréchet 空间 • Banach 空间 • 自反 Banach 空间 • Hilbert 空间 • Fréchet 流形 • Banach 流形 • Hilbert 流形

实例

L

_{p}

空间 • Sobolev 空间

代数

Banach 代数 •

C

_{*}

代数 • 无幺

C

_{*}

代数 • von Neumann 代数

算子

连续线性算子 • 有界算子 • 无界算子 • 正规算子 • 紧算子 • Fredholm 算子 • 迹类算子 • 谱

定理

Hahn–Banach 定理 • Baire 纲定理 • 开映射定理 • 闭图像定理 • 共鸣定理 • Riesz 表示定理 • 谱定理

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调和分析

模板:调和分析

动力系统

模板:动力系统

常微分方程

基本概念

线性常微分方程 • 齐次常微分方程 • 恰当常微分方程 • 常微分方程初值问题 • 常微分方程边值问题

求解方法

分离变量法 • 积分因子法 • Cauchy 定理

存在唯一性

Picard 定理 • Peano 定理 • Osgood 定理

解的性质

存在区间 • 常微分方程解的比较定理 • 常微分方程解的连续依赖性

定性理论

相空间 • 轨线 • 常点 • 奇点 • 初等奇点 • 自治系统 • Lyapunov 稳定性 • 极限环

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偏微分方程

分类

线性偏微分方程 • 椭圆偏微分方程 • 抛物偏微分方程 • 双曲偏微分方程

例子

热方程 • 波方程 • Laplace 方程 • Helmholtz 方程 • Poisson 方程

线性方程论

分离变量法 • 基本解 • Green 函数 • 弱解 • 正则性理论 • 最大值原理 • Harnack 不等式

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8概率论

概率论

基本概念

概率空间 • 事件 • 概率 • 概率测度 • 古典概型 • 几何概型 • 条件概率 • Bayes 定理 • 独立事件 • Borel–Cantelli 引理

随机变量与
概率分布

概念

随机变量 • 随机向量 • 离散型随机变量 • 连续型随机变量 • 概率分布 • 累积分布函数 • 概率密度函数 • 边缘分布 • 条件分布 • 独立随机变量

例子

二项分布 • Pascal 分布 • 几何分布 • 超几何分布 • Poisson 分布 • 均匀分布 • 指数分布 • 正态分布 •

Γ

分布 • Cauchy 分布 •

B

分布

性质

矩 • 期望 • 方差 • 标准差 • 分位数 • 条件期望 • 条件方差 • 协方差 • 相关系数 • 特征函数 • 矩母函数 • 概率母函数

概率极限理论

几乎必然收敛 • 依概率收敛 • 依分布收敛 •

r

阶平均收敛 • 大数定律 • 重对数律 • 中心极限定理

不等式

Markov 不等式 • Chebyshev 不等式 • Kolmogorov 不等式 • Hölder 不等式

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随机过程与随机分析

随机过程

概念

平稳过程 • 独立增量过程 • 平稳增量过程 • 计数过程 • 有限维分布族

例子

Poisson 过程 • 随机游走 • 更新过程 • Markov 过程 • Markov 链 • Brown 运动 • Wiener 过程 • Gauß 过程

鞅论

鞅 • 上鞅、下鞅 • 半鞅 • 适应列 • Doob 分解定理 • 停时 • 鞅停时定理 • 鞅收敛定理

随机积分

Itô 积分 • Itô 引理 • Itô 过程 • Stratonorvich 积分 • 倒向积分

随机微分方程

随机微分方程 • 扩散过程 • Itô 型方程 • Stratonorvich 型方程 • 倒向随机微分方程 • Feynman–Kac 公式

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9组合学

计数组合

组合原理

加法原理 • 乘法原理 • 抽屉原理 • 容斥原理 • Möbius 反演

组合函数

阶乘 • 降阶乘 • 二项式系数 • 多项式系数 • Catalan 数 • Leibniz 三角 • 第一类 Stirling 数 • 第二类 Stirling 数 • 分拆数 • Bernoulli 数

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图论

概念

图 • 有向图 • 超图 • 路径 • 环路

例子

完全图 • Cayley 图 • Petersen 图

图的性质

连通图 • 树 • 正则图 • 传递图 • 平面图

图的结构

子图 • 团 • 独立集 • Hamilton 路 • Euler 路 • 禁用子图问题

图的染色

n

部图 • Ramsey 数

代数方法

邻接矩阵 • 谱 • 染色多项式

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组合设计

区组设计

正则设计 • 完全区组设计 • 平衡不完全区组设计 (BIBD) • 对称平衡不完全区组设计 (SBIBD) • 可分解区组设计 • Steiner 系 •

t

-设计 • Fisher 不等式 • 差分集 • 成对平衡设计 (PBD)

拉丁方

正交拉丁方 • 希腊拉丁方 • 拉丁长方 • 半拉丁方

Hadamard 矩阵

Hadamard 设计 • Hadamard 不等式 • Hadamard 猜想 • Sylvester 构造法 • Paley 构造法

相异代表系

完美匹配 • 最大匹配 • 最小覆盖 • Hall 定理 • König-Egeváry定理 • 稳定婚姻问题

有限几何

有限射影平面 • 有限仿射平面 • 有限域

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博弈论

模板:博弈论

10物理学

(没有好数学结构的物理理论可以不列在里面)

量子场论

分类

一般场论

规范场论

自由场论

共形场论

共形场论 • 二维共形场论 • 手性共形场论

拓扑场论

拓扑量子场论 • 拓扑量子力学

超对称场论

超对称量子场论 • 超对称共形场论 • 超对称量子力学

例子

一般场论

σ

模型 • 量子电动力学 • 量子色动力学 • 杨–Mills 理论 • 二维杨–Mills 理论

自由场论

Klein–Gordon 场 • Dirac 场

共形场论

Wess–Zumino–Witten 模型 •

β

γ

系统 •

b

c

系统

拓扑场论

有限群规范场论 • 陈–Simons 理论

超对称场论

超对称杨–Mills 理论

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弦论

对象

弦 • D 膜 • NS 膜 • M 膜 • 黑膜

理论

第 I 型弦论 • 第 II 型弦论 • 杂弦论 • M 理论 • F 理论 • 弦场论

对偶

T 对偶 • S 对偶 • U 对偶 • 镜像对称 • 电–磁对偶 • 开弦–闭弦对偶 • 规范–引力对偶 • 全息原理

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11计算机科学

(...)

12哲学

(...)

1数学的基础

数理逻辑

集合论

类型论

2范畴论

普通范畴论

同伦代数

高阶范畴论

3代数学

线性代数

群论

非交换代数

交换代数

域论

模论

同调代数

高阶代数

表示论

4数论

初等数论

代数数论

解析数论

5拓扑学

一般拓扑

代数拓扑

几何拓扑

层论

6几何学

Euclid 几何

微分几何

Riemann 几何

辛几何

复几何

Lie 理论

代数几何

代数群理论

p 进几何

算术几何

组合几何

非交换几何

高阶几何

7分析学

微积分学

测度论

复分析

泛函分析

调和分析

动力系统

常微分方程

偏微分方程

8概率论

概率论

随机过程与随机分析

9组合学

计数组合

图论

组合设计

博弈论

10物理学

质点力学

经典场论

相对论

量子力学

量子场论

弦论

11计算机科学

12哲学

$p$ 进几何