用户: Fyx1123581347/Galois群与基本群/附录/Kummer 理论

1经典 Kummer 理论

本节 $K$ 是特征不被 $n$ 整除的域, 以 ${\mu }_n$ 记 $K^{sep}$ 中的 $n$ 次单位根群, 则其为 $n$ 阶循环群. 记 $G_K=\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(K^{sep}/K)$ 为 $K$ 的绝对 Galois 群.

命题 1.1. 有典范同构$$\begin{array}{r}{K}^{\times }/K^{\times n}{H}^1(G_K,{\mu }_n)\simeq H^2(G_K,{\mu }_n){\mathrm{B}\mathrm{r}}_K[n]\simeq \end{array}$$

注 1.2. 对 Abel 群 $A$, 我们用 $A[n]$ 记 $A$ 中被乘 $n$ 杀死的元素.

证明. 因 $K^{sep}$ 可分闭, 我们有正合列$$1{\mu }_n{K}^{sep}{K}^{sep}1x\mapsto x^n$$(1)根据 Hilbert 90, 我们有$$K^{\times }{K}^{\times }{H}^1(G_K,{\mu }_n)00H^2(G_K,{\mu }_n)\mathrm{B}\mathrm{r}(K)\mathrm{B}\mathrm{r}(K)nn$$此即所需同构.

$\square$

注 1.3. 式 (1) 被称作 Kummer 正合列.

定义 1.4. 设 $a\in K^{\times }$, 取 $a$ 在 $K^{sep}$ 中的一个 $n$ 次根 $\alpha$. Kummer 上圈 ${\chi }_a:G_K\to {\mu }_n$ 是 $1$-上圈$${\chi }_a(\sigma )=\frac{\sigma (\alpha )}{\alpha }.$$

这的确是一个上圈:$$\frac{\sigma \tau (\alpha )}{\alpha }=\sigma \left(\frac{\tau (\alpha )}{\alpha }\right)\frac{\sigma (\alpha )}{\alpha }.$$尽管 ${\chi }_a$ 实际上依赖于 $\alpha$ 的选取, 但是 ${\chi }_a$ 在 $H^1(G_K,{\mu }_n)$ 中的上同调类是良好定义 (仅取决于 $a$) 的, 因为不同的 $\alpha$ 之间相差一个 $n$ 次单位根, 对应的上圈之间也就相差一个上边界.

如果 ${\mu }_n\subset K$, 即 ${\mu }_n$ 是平凡的 $G_K$ 模, 那么 ${\chi }_a$ 的定义与 $\alpha$ 的选取无关, 且此时 ${\chi }_a$ 为群同态.

引理 1.5. 命题1.1中的第一个同构为$$\begin{array}{rl}{K}^{\times }/K^{\times n}& ⟶H^1(G_K,{\mu }_n)\\ a& ⟼[{\chi }_a]\end{array}$$

证明. 这就是追边界映射.

$\square$

我们称此同构为 Kummer 同构.

命题 1.6. 若 $L/K$ 为 Galois 扩张, 且 ${\mu }_n\subset L$, 则 Kummer 同构的限制给出同构$$K^{\times }\cap L^{\times n}/K^{\times n}\simeq H^1(\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K),{\mu }_n)$$

证明. 应用膨胀-限制正合列及 Kummer 同构$$0K^{\times }\cap L^{\times n}/K^{\times n}{K}^{\times }/K^{\times n}{L}^{\times }/L^{\times n}0H^1(\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K),{\mu }_n)H^1(G_K,{\mu }_n)H^1(G_L,{\mu }_n)\simeq \simeq \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}$$最右边方块交换是 $\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}$ 的自然性.

$\square$

命题 1.7. 设 ${\mu }_n\subset K$. 若 $L/K$ 为 $n$ 次循环扩张, 则存在 $a\in K^{\times }$, $L=K(\sqrt[n]{a})$.

证明. 设 $\zeta$ 为 $K$ 中的 $n$ 次本原单位根. 则 $\mathrm{N}\mathrm{m}(\zeta )={\zeta }^n=1$. 根据 Hilbert 90, 设 $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K)$ 生成元为 $\sigma$, 则存在 $\alpha \in L$ 使得 $\zeta =\frac{\sigma (\alpha )}{\alpha }$. 取 $a=-\mathrm{N}\mathrm{m}(-\alpha )$ 即可.

$\square$

定理 1.8. 设 ${\mu }_n\subset K$, 则$$\Delta ⟼L=K(\sqrt[n]{\Delta })$$给出了子群 $K^{\times n}\subseteq \Delta \subseteq K^{\times }$ 与指数整除 $n$ 的 Abel 扩张之间的一一对应.

如果 $\Delta$ 与 $L$ 对应, 则 $L^{\times n}\cap K^{\times }=\Delta$, 且命题1.6给出完美的配对: $$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K)\times \Delta /K^{\times n}\to {\mu }_n$$

注 1.9. 这里的指数意谓群中所有元素的阶的最小公倍数.

证明. 对扩张指数整除 $n$ 的扩张 $L$, 我们定义 $\Delta (L)=L^{\times n}\cap K^{\times }$. 我们先来证明$$L=K\left(\sqrt[n]{\Delta (L)}\right).$$显然有 $K\left(\sqrt[n]{\Delta (L)}\right)\subseteq L$. 注意到 $L$ 是循环子扩张的复合. 这是因为 $L$ 是其有限子扩张的复合, 每个子扩张都是 Abel 扩张, 因而可以写成循环群的乘积, 因而是循环子扩张的复合. 根据命题1.7, 存在 $\Gamma \subseteq K^{\times }$, 使得 $L=K(\sqrt[n]{\Gamma })$, 而当然有 $\Gamma \subseteq \Delta (L)$.

命题1.6给出了同构$$\Delta (L)/K^{\times n}⟶\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K),{\mu }_n),a⟼{\chi }_a.$$对 $K^{\times n}\subseteq \Delta \subseteq K^{\times }$ 以及 $L=K(\sqrt[n]{\Delta })$, 考察以上同构. 在 Понтрягин 对偶下, 子群 $\Delta /K^{\times n}$ 对应到子群 $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K)/H,{\mu }_n)$, 其中$$H=\{\sigma \in \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K)|{\chi }_a(\sigma )=1,\text{对任何}a\in \Delta \}.$$那么 $H$ 保持 $\sqrt[n]{\Delta }$ 中的元素不动, 因而 $H=1$. 故 $\Delta =\Delta (L)$.

$\square$

注 1.10. 我们用到了对 $G$ 与 $\hat{G}$ 的闭子群是一一对应的, 这是 Понтрягин 对偶的结论. 对有限群而言, 这是因为 $\hat{G}$ (不必典范地) 同构于 $G$. 也许可以因此直接给出对投射有限群的证明.