Becchi–Rouet–Stora–Tyutin 量子化

Becchi–Rouet–Stora–Tyutin 量子化, 简称 BRST 量子化, 是一种量子化有规范对称性的场的方法. 大致地说, 它在原有的场的作用量中加入了规范固定项和鬼场.

1动机

写一写为什么不能直接把规范场量子化...

2陈述

定理 2.1. 记场为 $\varphi$, 作用量为 $S(\varphi )$, 它的规范群为 $G$, $G$ 的无穷小局部坐标用 $x^{\alpha }$ 表示. 固定规范 $F^A(\varphi )=0$ ($A$ 为一组指标). 则在引入新的 Bose 场 $B_A$, 和 Fermi 场 $b_A$, $c^{\alpha }$ 后, 作用量$$\tilde{S}=S(\varphi )-\mathrm{i}{B}_A{F}^A(\varphi )+b_A{c}^{\alpha }{\delta }_{\alpha }{F}^A(\varphi )$$满足真空泛函$$Z=\int d\varphi d{B}_{A}d{b}_{A}d{c}^{\alpha }\exp (-\tilde{S})=\int \frac{d\varphi }{G}\exp (-S).$$这里 $\mathrm{i}{B}_A{F}^A\varphi$ 一项称为规范固定项; 而 $b_A$, $c^{\alpha }$ 称为 Faddeev–Popov 鬼或鬼场. 则作用量的最后一项即是鬼场的作用量.

这即是说虽然在对规范场做量子化时需要把测度商掉 $G$ 而不好计算, 但在引入一些合适的新的场后, 就可以避免之而做通常的路径积分计算. 有时规范固定项或鬼场的形式会略有不同, 但大体思想是一致的.

下面给出在通常的物理教材中的很不严格的证明.

证明. 回忆在 ${\mathbb{R}}^n$ 中, 对函数 $u:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$, 有积分等式$$\int dx\delta (u(x))\det \left(\frac{du}{dx}\right)=1,$$这里 $\delta$ 表示 $\delta$ 函数. 将它推广到无穷维空间, 我们可以想象有$${\int }_{G}dg\delta (F^A(\varphi ))\det \left(\frac{d{F}^A}{d{x}^{\alpha }}\right)=1.$$因此代入原积分式, 并把 $G$ 消掉, 可得$$\int \frac{d\varphi }{G}\exp (-S)=\int d\varphi \delta (F^A(\varphi ))\exp (-S)\det \left(\frac{d{F}^A}{d{x}^{\alpha }}\right).$$同样作为有限维空间的类似结论的推广, 可以想象$$\delta (F^A(\varphi ))=\int d{B}_A\exp (\mathrm{i}{B}_A{F}^A).$$与此同时, 由 Graßmann 数的路径积分的性质, 有等式$$\det \left(\frac{d{F}^A}{d{x}^{\alpha }}\right)=\int d{b}_{A}d{c}^{\alpha }{b}_A{c}^{\alpha }\exp (-b_A{c}^{\alpha }{\delta }_{\alpha }{F}_A(\varphi )).$$综合以上几式, 可知结论成立.

$\square$

3数学观点

(...)

4例子

例 4.1 (规范场). (...)

例 4.2 (点粒子). (...)

例 4.3 (弦). (...)

5相关概念

•	BRST 变换
•	BRST 约化
•	BV 形式化
•	Faddeev–-Popov 鬼

术语翻译

BRST 量子化 • 英文 BRST quantization • 德文 BRST-Quantisierung • 法文 quantisation de BRST • 拉丁文 quantizatio BRST