B 函数

$\mathrm{B}$ 函数是组合数的推广, 是关于两个复变量的亚纯函数.

1定义

定义 1.1. $\mathrm{B}$ 函数定义为$$\mathrm{B}(a,b)={\int }_0^1{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}\mathrm{d}t,$$其中 $a,b\in \mathbb{C}$.

2性质

命题 2.1. $$\mathrm{B}(a,b)=2{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2a-1}\theta {\cos }^{2b-1}\theta \mathrm{d}\theta .$$

证明. 在定义 1.1 中作换元 $t={\sin }^2\theta$ 即可.

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命题 2.2. $$\mathrm{B}(a,b)=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}.$$

证明. 对 $\Gamma$ 函数的积分公式换元, 可知: $$\Gamma (z)=2{\int }_0^{\infty }{x}^{2z-1}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$$因此有: $$\Gamma (a)\Gamma (b)=4{\iint }_{x,y\ge 0}{x}^{2a-1}{y}^{2b-1}{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$现在置 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$, 则有: $$\begin{array}{rl}\Gamma (a)\Gamma (b)& =4{\iint }_{\begin{array}{c}r\ge 0\\ 0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\end{array}}{r}^{2(a+b)-1}{e}^{-r^2}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\ & =\underset{\Gamma (a+b)}{\underbrace{2{\int }_0^{\infty }{r}^{2(a+b)-1}{e}^{-r^2}\mathrm{d}r}}\times \underset{\mathrm{B}(a,b)}{\underbrace{2{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2a-1}\theta {\cos }^{2b-1}\theta \mathrm{d}\theta }}\end{array}$$移项即可得到原始结论.

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3相关概念

•	$\Gamma$ 函数

术语翻译

Beta 函数 • 英文 Beta function • 德文 Beta-Funktion • 法文 fonction bêta • 拉丁文 functio beta • 古希腊文 βῆτα συνάρτησις