主理想

主理想是一个元素生成的理想.

1定义

定义 1.1. 对环 $R$ 及其元素 $r$ ,

•	$r$ 生成的主左理想, 记作 $R r$ , 指 $R$ 的左理想 ${a r ∣ a \in R}$ .

•	$r$ 生成的主右理想, 记作 $r R$ , 指 $R$ 的右理想 ${r a ∣ a \in R}$ .

•	$r$ 生成的主理想, 或称主双边理想, 记作 $R r R$ , 指 $R$ 的理想 ${\sum_{i = 1}^{n} a_{i} r b_{i} ∣ a_{1}, \dots, a_{n}, b_{1}, \dots, b_{n} \in R}$ .

换言之, 环 $R$ 的主 (左、右、双边) 理想是 $R$ 中一个元素生成的 (左、右、双) 子模.

注 1.2. 对交换环, 以上三者显然一样.

•	在任一环中, $(1)$ 和 $(0)$ 都是主理想.
•	$Z$ 的每个理想都是主理想. 事实上 $Z$ 是主理想整环.
•	任取除环 $D$ 和自然数 $n$ , 考虑矩阵环 $M_{n} (D)$ . 它的每个 (左、右、双边) 理想都是主的.
•	任取域 $k$ , 考虑二元多项式环 $k [x, y]$ . 理想 $(x, y)$ 不是主的.

•	循环模
•	主理想整环

术语翻译

主理想 • 英文 principal ideal • 德文 Hauptideal • 法文 idéal principal • 拉丁文 ideal principale • 古希腊文 κύριον ἰδεῶδες