二年级之梦

二年级之梦是指微积分中的一个看似不正确, 但实际上正确的等式:$${\int }_0^1{x}^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{-n},$$它的近似值是$$1.29128599706266354040\dots$$这个公式的命名与一年级之梦相对应, 后者是指不正确的等式 $(x+y{)}^n=x^n+y^n$.

1叙述与证明

定理 1.1 (二年级之梦). $${\int }_0^1{x}^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{-n}.$$

证明. 注意到 $x^{-x}={\mathrm{e}}^{-x\log x}={\sum }_{n=0}^{\infty }(-x\log x{)}^n/n!$, 并且这个幂级数关于 $x$ 一致收敛, 从而$$\begin{array}{rl}\text{左边}& ={\int }_0^1\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-x\log x{)}^n}{n!}dx\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^1\frac{(-x\log x{)}^n}{n!}dx\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^{\infty }\frac{({\mathrm{e}}^{-u}u{)}^n}{n!}{\mathrm{e}}^{-u}du(u=-\log x)\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!(n+1{)}^{n+1}}{\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-t}{t}^{n}dt(t=(n+1)u)\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!(n+1{)}^{n+1}}\Gamma (n+1)\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(n+1{)}^{n+1}}=\text{右边},\end{array}$$其中倒数第二行利用了 $\Gamma$ 函数的定义.

$\square$

2相关概念

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一年级之梦

术语翻译

二年级之梦 • 英文 sophomore’s dream • 法文 rêve du deuxième année