平稳集

平稳集相对于闭无界集就像是脱殊集相对于稠密集一样. 它是一种相对大, 但不是很大的集合.

1定义

定义 1.1. 给定不可数正则基数 $\kappa$, 若 $S\subseteq \kappa$ 与每一个闭无界集 $C\subseteq \kappa$ 都相交, 则称 $S$ 是一个平稳集, 这一性质记为 ${\mathrm{STAT}}_{\kappa }(S)$.

2性质

最初的平稳集相关的定理几乎都是从以下定理中得到的.

定义 2.1. 对 $S\subseteq \mathbf{Ord}$ 上的函数 $f:S\to \mathbf{Ord}$, 若 $\forall \alpha \in S(f(\alpha )<\alpha )$, 则称 $f$ 是累退的.

定理 2.2 (Fodor). 对 $\kappa$ 上的平稳集 $S$ 上的累退函数 $f$, 一定有 $\gamma \in \kappa$ 和更小的平稳集 $T\subseteq S$ 使得 $f$ 在 $T$ 上是常值 $\gamma$ 的函数.

证明. 反证, 如果对每个 $\gamma \in \kappa$ 都有 $T_{\gamma }=\{\alpha \in S|f(\alpha )=\gamma \}$ 并非平稳集, 选择公理给我们一个与 $T_{\gamma }$ 不交的闭无界集 $C_{\gamma }$. 我们做新的闭无界集 $C={\Delta }_{\gamma \in \kappa }{C}_{\gamma }$, 然后取 $\alpha \in S\cap C$. 由定义, $\forall \beta <\alpha (\alpha \in C_{\beta })$, 于是 $f(\alpha )\ne \beta$, 这指出 $f(\alpha )\ge \alpha$, 与 $f$ 累退矛盾.

$\square$

然而, Solovay 的惊人定理告诉我们, 其实每个平稳集之中都可以拆出 $\kappa$ 个不交的平稳集, 从而平稳集事实上是非常多的, 这与脱殊集有所不同. 我们先来看一些典范的平稳集.

定义 2.3. 对正则基数 $\lambda <\kappa$, 我们记 $S_{\lambda }^{\kappa }=\{\alpha <\kappa |\mathrm{cf}\alpha =\lambda \}$.

定理 2.4. $S_{\lambda }^{\kappa }$ 总是平稳集.

证明. 任给闭无界集 $C$, 由无界知 $\mathrm{Type}(C,\in )=\kappa$, 故可以取其前 $\lambda$ 项的上确界, 它就是所要的共尾数为 $\lambda$ 的 $C$ 中的序数.

$\square$

我们先来对这些典范的平稳集证明 Solovay 发现的性质, 这被称作平稳集的分裂性质.

定理 2.5. 包含于 $S_{\lambda }^{\kappa }$ 的平稳集一定包含 $\kappa$ 个两两不交的平稳集.

证明. 假定平稳集 $S\subseteq S_{\lambda }^{\kappa }$, 由定义, 我们可以对每个 $\alpha \in S$ 选取一个长度为 $\lambda$ 的单增共尾列 $a_{\beta }^{\alpha }(\beta \in \lambda )$. 我们来试着用 Fodor 定理造 $\kappa$ 个平稳集.

我们先来证明 $\exists \beta \forall \eta <\kappa (\mathrm{STAT}(\{\alpha \in S|\eta \le a_{\beta }^{\alpha }\}))$. 反证, 我们会得到一列 ${\eta }_{\beta }\in \kappa$ 和无界闭集 $C_{\beta }$ 满足 $\forall \alpha \in C_{\beta }\cap S(a_{\beta }^{\alpha }<{\eta }_n)$. 取 $\eta ={\lim }_{\beta \in \lambda }{\eta }_{\beta }\in \kappa$(注意 $\kappa$ 不可数正则) 和 $C={\bigcap }_{\beta \in \lambda }{C}_{\beta }$, 我们就得到 $\forall \alpha \in C\cap S\forall \beta \in \lambda (a_{\beta }^{\alpha }<\eta )$, 矛盾.

现在我们得到了满足所宣称条件的 $\beta$, 它给出一个累退函数 $f(\alpha )=a_{\beta }^{\alpha }$. 但我们要对每个 $\eta \in \kappa$ 考虑上文的平稳集 $T_{\eta }=\{\alpha \in S|\eta \le f(\alpha )\}$, 然后对限制在其上的 $f$ 使用 Fodor 定理, 得到平稳集 $S_{\eta }\subseteq T_{\eta }$ 和 ${\gamma }_{\eta }\ge \eta$ 使得 $f$ 在 $S_{\eta }$ 上取常值 ${\gamma }_{\eta }$.

显然 ${\gamma }_{\eta }$ 不同时对应的 $S_{\eta }$ 不交, 故可以用 $\gamma$ 来对应 $S_{\gamma }$; 由于 $\eta$ 取遍 $\kappa$ 且后者正则, 全体 $\gamma$ 必须在 $\kappa$ 中无界, 换言之 $S_{\gamma }$ 有 $\kappa$ 多个, 于是 $S$ 现在分裂出了 $\kappa$ 个 $S_{\gamma }$.

$\square$

推论 2.6. ${\mathcal{F}}_{\mathrm{CLUB}}$ 总不是超滤.

证明. 这是因为我们总可以运用上面的定理得到一对不交的平稳集.

$\square$

接下来, 我们对一般的平稳集证明这个性质.

定理 2.7 (Solovay). $\kappa$ 的平稳集一定包含 $\kappa$ 个两两不交的平稳集.

证明. 对平稳集 $S$, 记 $S_0$ 为其中奇异序数的集, $S_1$ 为其中正则序数的集, 由于两个闭无界集的交还是闭无界集, $S=S_0\cup S_1$ 指出他俩至少有一个是平稳集.

如果 $S_0$ 平稳, 我们对其上的 $\mathrm{cf}$ 使用 Fodor 定理, 得到一个 $\lambda$ 和一个平稳集 $T\subseteq S_0$ 使得 $\alpha \in T\to \mathrm{cf}(\alpha )=\lambda$, 于是 $T\subseteq S_{\lambda }^{\kappa }$, 由上一个定理即得.

如果 $S_0$ 并非平稳, 则 $S_1$ 必然平稳. 不妨设 $S=S_1$, 再由 $\kappa$ 不可数正则不妨设 $S$ 中的 $\alpha$ 都是不可数正则基数. 我们宣称 $T=\{\alpha \in S|\neg {\mathrm{STAT}}_{\alpha }(S\cap \alpha )\}$ 是 $\kappa$ 中的平稳集. 事实上, 它与每个 $\kappa$ 的闭无界集 $C$ 交于 $\inf (S\cap \mathrm{Der}(C))$.

现在, 我们对每个 $\alpha \in T$ 选取一个连续单增的序数列 $a_{\xi }^{\alpha }(\xi \in \alpha )$, 使得 ${\lim }_{\xi \in \alpha }{a}_{\xi }^{\alpha }=\alpha$ 且 $a_{\xi }^{\alpha }\notin T$. 我们又来复刻上一个定理的证明中的操作.

首先断言 $\exists \xi \forall \eta <\kappa (\mathrm{STAT}(\{\alpha \in T|a_{\xi }^{\alpha }\ge \eta \}))$. 反证, 取出 ${\eta }_{\xi }$ 和 $C_{\xi }$, 取对角交 $C={\Delta }_{\xi \in \kappa }{C}_{\xi }$, 则对任意 $\alpha \in C\cap T$ 均有 $\forall \xi \in \alpha (a_{\xi }^{\alpha }<{\eta }_{\xi })$. 受此启发, 我们取 $D=\{\alpha \in C|\forall \xi \in \alpha ({\eta }_{\xi }\in \alpha )\}$, 它仍然是闭无界集, 所以 $D\cap T$ 仍然是平稳集. 任取其中两个不同序数 $\gamma <\alpha$, $\forall \xi \in \gamma (a_{\xi }^{\alpha }<{\eta }_{\xi }<\gamma )$ 指出 $a_{\gamma }^{\alpha }=\gamma$, 但左边不属于 $T$ 而右边属于 $T$, 矛盾.

现在我们拿到宣称性质的 $\xi$, 取累退函数 $f(\alpha )=a_{\xi }^{\alpha }$. 同上证明给出 $S_{\eta }$.

$\square$