无穷行列式

1历史

无限维矩阵的研究始于 1884 年. Poincaré 在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究. 1906 年, Hilbert 引入无限二次型 (相当于无限维矩阵) 以研究积分方程, 并极大地促进了无限维矩阵的研究. 在此基础上, 随着算子理论的发展, 无限维矩阵也成为了研究函数空间算子的有力工具.

相关的无穷行列式概念的产生, 也源于对无穷元无穷线性方程组的研究. 在研究月球轨道近日点之运动的问题时, 首次产生了考察此种方程组和此种行列式的需求. 此项研究是 G.Hill 于 1886 年引入的, H.Poincaré 给出了 Hill 方法的严格数学根据. 无穷行列式还有一个在 E.Fredholm (1903) 研究线性积分方程的工作中的应用.

2定义

设 $\{b_{mn}\}$ 是二重实数序列. 用 $D_m=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(B_m\right)$ 表示方阵 $B_m=\left(b_{kl}\right)$ 的行列式, 其中脚标 $k$ 和 $l$ 跑遍从 $1$ 到 $m$ 的值. 在此矩阵中, 数 $b_{kl}$ 位于第 $k$ 行和第 $l$ 列相交之处, 此矩阵的主对角线由数 $b_{kk}$ 组成, $k=1,\cdots ,m$. 我们用 $B$ 代表无穷矩阵 $B_m=\left(b_{kl}\right)$, 其中 $m,n=1,2,\cdots$.

定义 2.1 (无穷行列式). 若行列式序列 $\{D_m\}$ 当 $m\to +\infty$ 时收敛到数 $D$, 则说矩阵 $B$ 的无穷行列式 $D=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(B\right)$ 收敛到数 $D$, 或说它等于 $D$. 若数列 $\{D_m\}$ 发散, 则说此行列式发散.

称行列式 $D_m$ 为无穷行列式的部分行列式. 我们引入一些新的记号: 对于矩阵 $B$ 的对角线元素, 置 $a_{nn}=b_{nn}-1$. 而若 $m\ne n$, 则置 $a_{mn}=b_{mn}$.

定义 2.2 (无穷行列式的 Poincaré 优控). 在一切级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left|a_{mn}\right|$ 都收敛且乘积$$P=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{mn}\right|\right)$$也收敛的前提下, 称无穷乘积 $P$ 为无穷行列式 $D$ 的 Poincaré 优控.

定义 2.3 (部分行列式的 Poincaré 优控). 有限乘积$$P_m=\prod _{k=1}^m\left(1+\sum _{l=1}^m\left|a_{kl}\right|\right)$$称为行列式 $D_m$ 的 Poincaré 优控.

3性质

以下是一些关于行列式收敛性的结论:

引理 3.1 (Poincaré). 对于一切 $m\in \mathbb{N}$ 成立如下估计:

$1)\left|D_m\right|\ge P_m$;

$2)\left|D_{m+1}-D_m\right|\ge P_{m+1}-P_m$.

证明. (...)

$\square$

定理 3.2 (Poincaré). 无穷行列式收敛, 如果它的对角线元的无穷乘积绝对收敛, 且由非对角线元组成的二重级数绝对收敛.

证明. (...)

$\square$

注 3.3. 如果无穷行列式中的元素 $a_{mn}$ 是复变量 $z$ 的函数, 则当其 Poincaré 优控 $P$ 一致收敛时, 无穷行列式也一致收敛.

注 3.4 (双边无穷行列式). 类似的定理对于形如 $B=\left(b_{mn}\right),-\infty <m,n<+\infty$ 的矩阵 $B$ 的无穷行列式 $D$ 成立. 这里部分行列式 $D_m$ 和部分矩阵 $B_m$ 的形状是$$D_m=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(B_m),B_m=(b_{kl}),-m<k,l<m.$$

4应用与推广

定义 4.1 (Poincaré 优控的推广). 设 $\left\{A_n\left(x\right)\right\}$ 是一个函数列, 而 $\left\{B_n\right\}$ 是一个数列. 设: 1) 当 $n\to \infty$ 时, $B_n\to B$; 2) 对于一切 $n\in \mathbb{N}$ 和每个 $x\in D$, 都成立不等式$$\left|A_{n+1}\left(x\right)-A_n\left(x\right)\right|\le B_{n+1}-B_n.$$则称数列 $\left\{B_n\right\}$ 是函数列 $\left\{A_n\left(x\right)\right\}$ 在集合 $D$ 上的优控.

例 4.2 (Kox 定理). 形如$$D=\underset{m\to \infty }{\lim }\left|\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_1& \cdots & 0& 0\\ {\beta }_1& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& {\alpha }_m\\ 0& 0& \cdots & {\beta }_m& 1\end{array}\right|$$的无穷行列式 $D$ 绝对收敛的充要条件是级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{\alpha }_n{\beta }_n$ 绝对收敛. 此处行列式 $D$ 绝对收敛指的是级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left|D_{m+1}-D_m\right|$ 绝对收敛.

例 4.3 (Hill 方程). (...)

例 4.4 (在天体物理中的应用). (...)

例 4.5 (在积分方程中的应用). (...)

例 4.6 (泛函行列式). (...)

参考文献

[1]	.И. 阿黑波夫, В.А. 萨多夫尼奇, В.Н. 丘巴里阔夫. 数学分析讲义 [M]. 第 3 版. 高等教育出版社, 2006.