日本环

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在交换代数中, 日本环是一种特殊的交换整环. 定义中的 " 日本 " 一词是为了强调 Nagata, Akizuki 等人的贡献.

1定义

定义 1.1. 交换整环 $A$ 是日本的是指, 对分式域 $K=\text{Quot}(A)$ 的任意有限扩张 $L$, $A$ 在 $L$ 中的整闭包都是有限 $A$ 模.

代数几何中的一个基础事实是, 代数簇的正规化是有限射. 这就是说, 代数闭域上有限型代数的正规闭包是有限模. 事实上, 对任意无限元的完美域 $k$, 有限型 $k$ 整代数都会是日本的 (见下面的定理). 尽管如此, 成为日本环并不是一件容易的事: Noether 环, 离散赋值环都未必是日本环.

现在我们重点考虑诺特环. 注意到有限扩张都可以分解成可分扩张和根式扩张的复合, 因此我们有:

定理 1.2. 诺特整环 $A$ 是日本的, 当且仅当对分式域 $K=\text{Quot}(A)$ 的任何有限根式扩张 $L$ 而言, $A$ 在其中的整闭包都是有限 $A$ 模.

特别地, 特征 $0$ 的诺特整环是日本的当且仅当其整闭包是它的有限生成模.

2有限型代数

定理 2.1. 设 $k$ 是无限元的完美域, 则 $k$ 上的有限型整代数都是日本的.

3完备情形

下面我们重点研究完备情形. 我们将要证明: 正则完备局部环都是日本环.

4完备离散赋值的扩张

有了日本环的知识, 我们能够证明: 完备离散赋值在分式域的有限扩张下具有唯一的扩张, 且该扩张仍是完备离散赋值.