有限生成模

有限生成模, 又称有限型模, 指被有限个元素生成的模. 这是关于模最基本的有限性条件.

1定义

定义 1.1. $R$ 是环, $M$ 是左 $R$-模. 称 $M$ 有限生成, 指存在 $n\in \mathbb{N}$ 以及 $m_1,\dots ,m_n\in M$, 满足每个元素 $m\in M$ 都能写成 ${\sum }_{i=1}^n{r}_i{m}_i$ 的形式, 其中 $r_1,\dots ,r_n\in R$. 换言之, 有限个元素 $m_1,\dots ,m_n$ 生成 $M$.

右模自然也可作类似定义.

2例子

•	有限维线性空间是有限生成模.
•	一般地, 对 $n\in \mathbb{N}$, $R^n$ 是有限生成 $R$-模.
•	$\mathbb{Z}/n$ 是有限生成 $\mathbb{Z}$-模: 它被 $1$ 生成.
•	一般地, 有限生成模的商模有限生成.
•	$\mathbb{Q}$ 不是有限生成 $\mathbb{Z}$-模: 有限个分数总能通分, 分母不整除它们的公分母的分数自然不被它们生成.

3性质

有限生成模的定义是用元素写出; 其实它有一些范畴论刻画, 可不用提及元素, 直接在范畴 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 中取出有限生成模.

命题 3.1 (拟紧). $M\in R\text{-}\mathsf{Mod}$ 有限生成, 当且仅当对任一族左 $R$-模 $\{N_i{\}}_{i\in I}$ 以及满射 ${⨁}_{i\in I}{N}_i\twoheadrightarrow M$, 存在有限子集 $J\subseteq I$ 使得 ${⨁}_{j\in J}{N}_j\to M$ 已经满.

命题 3.2 (紧). $M\in R\text{-}\mathsf{Mod}$ 有限生成, 当且仅当对任一左 $R$-模 $N$ 一滤相系的子模 $\{N_i{\}}_{i\in I}$ 满足 ${\bigcup }_{i\in I}{N}_i=N$, 每个映射 $M\to N$ 都穿过某个 $N_i$.

另外在环交换时有限生成模还有一重要性质, 见 Nakayama 引理.

引理 3.3. $R$ 是交换环, $I\subseteq R$ 是理想, $M$ 是有限生成 $R$-模, 被 $n$ 个元素生成. 则对任一同态 $f:M\to IM$, 都存在 $a_1,\dots ,a_n\in I$, 使得$$f^n+a_1{f}^{n-1}+\cdots +a_n=0.$$这里次方表示 $f$ 复合自己.

4相关概念

•	有限表现模
•	可数生成模
•	Noether 模
•	有限代数
•	拟紧对象

术语翻译

有限生成模 • 英文 finitely generated module • 德文 endlich erzeugter Modul • 法文 module de type fini • 拉丁文 modulus finite generatus • 古希腊文 πεπερασμένως παραγόμενον πρότυπον