特征标

关于其它含义, 请参见 “特征”.

特征标是群表示论中的重要工具.

1定义

定义 1.1. 设 $G$ 是群, $\rho$ 是其有限维表示. 那么 $\rho$ 的特征标是 $G$ 上的函数 $\chi$, $$\chi (g)=\mathrm{tr}\rho (g).$$

2性质

下面是特征标的一些一般性质.

命题 2.1. $\chi$ 是类函数: 它在每个共轭类上的限制是常函数.

证明. 这是因为 $\rho (gh{g}^{-1})=\rho (g)\rho (h)\rho (g{)}^{-1}$, 而共轭的线性算子的迹相等.

$\square$

命题 2.2 (与表示运算的交互). 设 $V,W$ 是 $G$ 的两个表示, 具有特征标 ${\chi }_1,{\chi }_2$. 那么

1.	$V\oplus W$ 的特征标为 $\chi (g)={\chi }_1(g)+{\chi }_2(g)$;
2.	$V\otimes W$ 的特征标为 $\chi (g)={\chi }_1(g){\chi }_2(g)$;
3.	若 $G$ 有限且表示的基域为 $\mathbb{C}$, $V$ 的对偶表示的特征标为 ${\chi }_1$ 的复共轭.

证明. 1 和 2 都是简单的线性代数. 要证 3, 首先注意到条件推出 $\rho (g)$ 的特征值都是单位根. 由线性代数, $\hat{\rho }(g)$ 的特征值即为 $\rho (g)$ 的特征值的复共轭, 即证.

$\square$

接下来的性质都针对有限群的情况 (应该补上紧群的版本).

引理 2.3. $V,W$ 是两个线性空间, $A=\mathrm{Hom}(V,W)$. 那么对 $V$ 上线性算子 $f$, $W$ 上线性算子 $g$, $A$ 上线性算子 $\Phi \mapsto g\circ \Phi \circ f$ 的迹是 $\mathrm{tr}f\cdot \mathrm{tr}g$.

引理 2.4. 假设 $G$ 有限, 基域特征不整除 $|G|$. 对 $G$ 的两个表示 ${\rho }_1,{\rho }_2$, 设其特征标为 ${\chi }_1,{\chi }_2$, 则有$$\dim {\mathrm{Hom}}_G({\rho }_1,{\rho }_2)=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{\chi }_1(g){\chi }_2(g^{-1}).$$

证明. 考虑 $V={\mathrm{Hom}}_k({\rho }_1,{\rho }_2)$. 可定义 $G$ 在 $V$ 上的表示, 定义为 $(g\cdot \Phi )(v)={\rho }_2(g)\Phi ({\rho }_1(g^{-1})v)$. 那么 ${\mathrm{Hom}}_G({\rho }_1,{\rho }_2)$ 即为此表示下的不变子空间. 易知$$\Phi \mapsto \frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}g\cdot \Phi$$是到不变子空间的投影算子. 于是它像的维数就等于它的迹, 等于 (由引理 2.3) $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\mathrm{tr}(g:V\to V)\\ =& \frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{\chi }_1(g^{-1}){\chi }_2(g)\\ =& \frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{\chi }_1(g){\chi }_2(g^{-1})\end{array}$$

$\square$

定理 2.5 (第一正交关系). 假设 $G$ 有限, 基域特征不整除 $|G|$ 且代数闭. 对不可约表示 ${\rho }_1,{\rho }_2$ 对应特征 ${\chi }_1,{\chi }_2$ 有$$⟨{\chi }_1,{\chi }_2⟩=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{\chi }_1(g)\overline{{\chi }_2(g)}=\{\begin{array}{ll}1& {\rho }_1\cong {\rho }_2\\ 0& {\rho }_1≆{\rho }_2\end{array}$$

证明. 这是引理 2.4 和 Schur 引理的直接推论.

$\square$