Maschke 定理

Maschke 定理是有限群表示论中的重要结论. 它表明在域 $k$ 的特征不整除群 $G$ 的阶数时, $k[G]$ 是半单代数, 且 $G$ 的所有 $k$-表示均半单. 这种情况下的群表示论较为简单, 称为常表示论.

1定理陈述

定理 1.1 (Maschke 定理). 设 $G$ 是有限群, $k$ 是域, 且 $G$ 的阶数 $|G|$ 在 $k$ 中非零. 则 $G$ 的任意 $k$-表示均半单. 由此, 群代数 $k[G]$ 是半单代数.

证明. 由半单模的一般结论, 只需证明对任意表示 $V$ 和它的子表示 $V_1$, 存在 $V$ 的子表示 $V_2$ 满足 $V=V_1\oplus V_2$. 任取 $V$ 到 $V_1$ 的投影 $\pi$, 定义$$\tilde{\pi }(v)=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{g}^{-1}\pi (gu).$$则 $\tilde{\pi }$ 仍是 $V$ 到 $V_1$ 的投影, 且是 $G$-同态. 故 $V_2=\ker \tilde{\pi }$ 是 $V_1$ 的补空间, 且是 $V$ 的子表示.

$\square$

注 1.2. 相反地, 如果 $|G|$ 在 $k$ 中为 $0$, 则 $k[G]$ 不半单. 这是因为 $k[G]$ 中有非零且在中心的幂零元$$\sum _{g\in G}g.$$