球完备域

1定义

定义 1.1. 称非 Archimedes 域 $K$ 球完备, 指的是其中任意闭球降链$$B_1\supseteq B_2\supseteq B_3\supseteq \cdots$$交非空.

2性质

对非 Archimedes 域 $K$, 以 ${\mathcal{O}}_K$, ${\mathfrak{m}}_K$, $k_K$ 分别记 $K$ 的整数环、极大理想、剩余域.

命题 2.1. 球完备域都完备.

命题 2.2. 设 $K$ 的赋值不为离散. 则 $K$ 球完备当且仅当 ${\mathrm{Ext}}_{{\mathcal{O}}_K}^1({\mathfrak{m}}_K,{\mathcal{O}}_K)=0$. 此时 $R{\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}_K}({\mathfrak{m}}_K,{\mathcal{O}}_K)={\mathcal{O}}_K$.

定理 2.3. 对任一非 Archimedes 域 $K$, 存在非 Archimedes 域的扩张 $K\subseteq L$, 剩余域和值群都不变, 而 $L$ 为球完备.

注 2.4. 和完备化不同, 以上定理没有任何典范性.

3例子

例 3.1. 局部紧的非 Archimedes 域是球完备的. 特别地, ${\mathbb{Q}}_p$ 的任一有限扩域是局部紧的, 从而是球完备的.

例 3.2. 任意完备离散赋值域是球完备的. 特别地, $\mathbb{C}[[T]]$ 是离散赋值域, 从而是球完备的.

例 3.3 (反例). $p$ 进复数域 ${\mathbb{C}}_p$ 不是球完备的.

证明. 我们固定 ${\mathbb{C}}_p$ 中的一列数 $\{a_n\}$, 使得作为子集, $\{a_n\}$ 在 ${\mathbb{C}}_p$ 中稠密. 再固定一列实数 $\{{ϵ}_n\}$, 满足$$1>{ϵ}_1>{ϵ}_2>\cdots >\frac{1}{2}.$$考虑 ${\mathbb{C}}_p$ 上的一个等价关系 ${\sim }_1$:$$a{\sim }_{1}b⟺|b-a|\le {ϵ}_1.$$显然该等价关系下等价类为球. 由于值群 $|{\mathbb{C}}_p^{\times }|=p^{\mathbb{Q}}$ 在 ${\mathbb{R}}_{+}^{\times }$ 中稠密, 从而球的直径为 ${ϵ}_1$. 显然该等价关系下不止一个等价类, 从而可以固定一个等价类 $B_1$, 使得: $a_1\notin B_1.$

在 $B_1$ 上定义一个等价类 ${\sim }_2$:$$a{\sim }_{2}b⟺|b-a|\le {ϵ}_2.$$从而可以找到一个直径为 ${ϵ}_2$ 球 $B_2\subset B_1$, 使得: $a_2\notin B_2.$

不断重复该过程, 我们得到一个球的降链: $$B_1\supseteq B_2\supseteq B_3\supseteq \cdots ,$$其中球 $B_n$ 的直径为 ${ϵ}_n$, 并且 $a_n\notin B_n$. 我们断言:$$\bigcap _n{B}_n=\varnothing .$$否则若存在 $b\in {\bigcap }_n{B}_n$, 则对每个 $n$, 有 $B_n=B_{{ϵ}_n}(b)$, 从而$$B_{1/2}(b)\subseteq \bigcap _n{B}_n.$$则对任意的 $a_n$, $a_n\notin B_{1/2}(b)$, 而 $B_{1/2}(b)$ 又是一个开集, 这矛盾于 $\{a_n\}$ 在 ${\mathbb{C}}_p$ 中稠密.

$\square$

术语翻译

球完备域 • 英文 spherically complete field