局部紧空间

局部紧空间, 更准确地说是局部紧 Hausdorff 空间, 指的是每个点都有紧邻域的 Hausdorff 空间.

1定义

定义 1.1. 设 $X$ 是 Hausdorff 空间. 称 $X$ 局部紧, 指的是对任意 $x\in X$, 存在开集 $U$、紧集 $K$, 满足 $x\in U\subseteq K$.

注 1.2. 对于不 Hausdorff 的空间这个概念没什么意义, 故这里约定 “局部紧空间” 自动指 “局部紧 Hausdorff 空间”.

2性质

命题 2.1. 对 Hausdorff 空间 $X$, 以下几条等价:

1.	$X$ 局部紧.
2.	$X$ 的每个点都有紧邻域组成的邻域基.
3.	$X$ 有一组拓扑基, 其中每个开集的闭包紧.

3例子

•	紧 Hausdorff 空间局部紧.
•	离散空间都局部紧.
•	流形都局部紧.

4相关概念

•	紧合映射
•	Riesz 表示定理

术语翻译

局部紧空间 • 英文 locally compact space • 法文 espace localement compact

局部紧 (形容词) • 英文 locally compact • 法文 localement compact