用户: 上埜久/代数习题

1记号与定义

定义 1.1 (Pierpont,1901). 群是带有二元结合运算和幺元和对称的集合

引理 1.2. 幺元唯一

证明(Weber1982).

证明 (Weber1982). $e=e{e}^{\prime }=e^{\prime }$

$\square$

定义 1.3 (Weber1882-Huntington1902). 群是带有二元结合运算且满足任意左乘右乘都是满射的集合.

关于从除法的观点定义群可以看 Ward1930 或 Lorenzen1940 也可看 M.Hall 或 Tarski1938

定义 1.4. 正则半群是存在拟逆的 $a{a}^{-1}a=a$ 的半群. 逆半群是拟逆唯一的正则半群

2习题

引理 2.1. 设 $E$ 是集合, 则存在集合 $S$ 和双射 $f:E\to S$ 使得 $E\cap S=\varnothing$

证明.

证明. 只需证 $(\exists X\in P\left(E\right))E\cap (\{X\}\times E)=\varnothing$. 令$$g={\mathrm{pr}}_1\circ \mathrm{incl}:E\cap (P\left(E\right)\times E)\hookrightarrow P\left(E\right)\times E\to P\left(E\right)$$和常值映射 $h:E\setminus (P\left(E\right)\times E)\ni x\mapsto E\in P\left(E\right)$, 则由 Cantor 对角线定理知 $k=g\cup h:E\to P\left(E\right)$ 不是满射, 从而 $g$ 不是满射. 若 $(\forall X\in P\left(E\right))E\cap (\{X\}\times E)\ne \varnothing$, 则 $(\forall X\in P\left(E\right))(\exists x\in E\cap (\{X\}\times E))g(x)=X$, 即 $g$ 是满射, 矛盾!

$\square$

例 2.2 (Cayley1854). 4 阶群 $G=\{1,\alpha ,\beta ,\gamma \}$ 或者是循环群或者是 Klein 四群

证明.

证明. 由 Lagrange 定理每个 $\alpha \in G$ 的阶为 2 或 4, 若存在 $\alpha \in G$ 阶为 4, 则 $G=\{1,\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3\}$. 否则 $G=\{1,\alpha ,\beta ,\gamma \}$ 且 ${\alpha }^2={\beta }^2={\gamma }^2=1$, 从而 $\alpha \beta =\gamma =\beta \alpha$, 于是 $G=\{1,\alpha ,\beta ,\alpha \beta \}$ 且 ${\alpha }^2={\beta }^2=1$ 且 $\alpha \beta =\beta \alpha$.

$\square$

例 2.3 (Cayley1854). 非循环 6 阶群形如 $G=\{1,\alpha ,{\alpha }^2,\beta ,\alpha \beta ,{\alpha }^2\beta \}$ 且满足 $\beta \alpha =\alpha \beta \vee \beta \alpha ={\alpha }^2\beta$

证明.

证明. 设 $G$ 不是循环群, 则元素阶为 2 或 3, 注意到不可能所有元素都是二阶元, 否则有两个二阶元 $\alpha ,\beta$ 使得 $(\alpha \beta {)}^2=1$, 即 $\beta \alpha =\alpha \beta$, 从而 $G$ 有 4 阶子群 $\{1,\alpha ,\beta ,\alpha \beta =\beta \alpha \}$, 与 Lagrange 定理矛盾! 不妨设 $\alpha$ 是一个 3 阶元, 则存在 $\beta \in G\setminus \{1,\alpha ,{\alpha }^2\}$, 则 $G=\{1,\alpha ,{\alpha }^2,\beta ,\alpha \beta ,{\alpha }^2\beta \}$, 从而 ${\beta }^2\in \{1,\alpha ,{\alpha }^2\}$, 若 ${\beta }^2={\alpha }^2$, 则 ${\beta }^4={\alpha }^4=\alpha$, 则 $G=\{1,\beta ,{\beta }^2,{\beta }^3,{\beta }^4,{\beta }^5\}$ 与假设 $G$ 不是循环群矛盾! 类似地可知 ${\beta }^2\ne \alpha$, 因此只能是 ${\beta }^2=1$, 由 $\beta \alpha \in G$ 易知 $\beta \alpha =\alpha \beta \vee \beta \alpha ={\alpha }^2\beta$

$\square$

Malcev1937

例 2.4. 设 $a_i,b_i(1\le i\le 4)$ 是群元素, 则$$a_1{a}_2=a_3{a}_4\wedge a_1{b}_2=a_3{b}_4\wedge b_1{a}_2=b_3{a}_4⟹b_1{b}_2=b_3{b}_4$$

证明.

证明. 由假设知 $b_3^{-1}{b}_1=a_4{a}_2^{-1}=a_3^{-1}{a}_1=b_4{b}_2^{-1}$ 则 $b_1{b}_2=b_3{b}_4$

$\square$

注 2.5. 在 Malcev1937 中 $(A,B,C,D,X,Y,U,V)=(a_1,a_3,b_1,b_3,a_2,a_4,b_2,b_4)$.

Tamari’s thesis1951

四合院俱乐部

见 Johnstone2008

3历史注记

接替 L.Euler 的 Lagrange 在 Lagrange1770 关于方程代数解的思考中对多项式方程的根的置换的研究拉开了群论的序幕, Gauss 在算术探索中研究了有限 Abel 群并且证明了 $\mathrm{Inv}(\mathbb{Z}/(p))$ 是循环群, 现今证明 Fermat 小定理的方法亦源出于此, Gauss 的工作影响了 Ruffini 和 Abel, Galois 和 Cauchy 研究了置换群, Cayley1854,p.124 定义了二元运算和幺半群, 并且利用 Lagrange 定理和有限循环群给出了 4,6 阶群的分类 (当然时至今日也可以直接利用 $p^2$ 和 $pq(p\ne q)$ 阶群的分类), 这时常被用来作为研究生入学考试的口试题. Cayley1859 给出 8 阶群的分类, 成为了有限阶群分类的开端. Kronecker1870 给出了现代形式的交换律和结合律 Jordan1870 系统总结了置换群理论, Berlin 学派的 Frobenius and Stickelberger1879 推进了 Kronecker1870 的工作并证明了有限 Abel 群基本定理, 借鉴 Kronecker1870 的工作 H.M.Weber1882 首先以公理化的方式定义了有限可消去半群 (即有限群) 并强调了幺元 (Hauptelement) 的地位, Dyck1882 则延续了 Cayley 的定义且明显地使用了逆变换, 并且给出了自由群的定义. Burnside1897 明显将逆元作为群的定义的一部分, 顺便一提, 正是由 Weber 的学生 Brandt 提出 groupoid.