用户: 上埜久/范畴论初步

1猫 2-范畴

Schubert: 读者不必熟悉所有栗子

宇宙

定义 1.1 (预宇宙). 一个预宇宙 $\mathbf{U}$ 是一个满足下列预宇宙公理的传递集:

1.	无序对封闭:$x\in \mathbf{U}\wedge y\in \mathbf{U}⟹\{x,y\}\in \mathbf{U}$
2.	幂集封闭:$x\in \mathbf{U}⟹P\left(x\right):=\{y\mid y\subseteq x\}\in \mathbf{U}$
3.	指标并封闭: 若 $J\in \mathbf{U}$ 且 $f:J\to \mathbf{U}$ 是一个映射, 则 ${\bigcup }_{j\in J}f(j)\in \mathbf{U}$

注 1.2. 对于预宇宙 $\mathbf{U}$ 易证下列结果, 后续使用时不再明显说明

•	由 $\mathbf{U}$ 传递且幂集封闭知 $y\subseteq x\in \mathbf{U}⟹y\in \mathbf{U}$
•	再由幂集封闭知 $x\in \mathbf{U}\wedge y\subseteq P\left(x\right)⟹y\in \mathbf{U}$
•	由无序对封闭知 $x\in \mathbf{U}⟹\{x\}:=\{x,x\}\in \mathbf{U}$
•	再由无序对封闭知 $x,y\in \mathbf{U}⟹(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}\in \mathbf{U}$
•	由 $X\times Y={\bigcup }_{x\in X}{\bigcup }_{y\in Y}\{(x,y)\}$ 知 $X,Y\in \mathbf{U}⟹X\times Y\in \mathbf{U}$
•	$X,Y\in \mathbf{U}⟹(\{X\}\times \{Y\})\times P\left(X\times Y\right)\in \mathbf{U}$
•	若 $J\in \mathbf{U}$ 且 $f:J\to \mathbf{U}$ 是一个映射, 则 ${\prod }_{j\in J}f(j)\in \mathbf{U}$
•	若 $\varnothing \ne J\in \mathbf{U}$ 且 $f:J\to \mathbf{U}$ 是一个映射, 则 ${\bigcap }_{j\in J}f(j)\in \mathbf{U}$
•	$\mathbf{U}\ne \varnothing ⟹\varnothing \in \mathbf{U}$

例 1.3. 空集 $\varnothing$ 是预宇宙

引理 1.4. 预宇宙公理 3 可由下列两个条件替代

1.	并封闭:$J\in \mathbf{U}⟹\bigcup J\in \mathbf{U}$
2.	值域封闭: 若 $C\subseteq \mathbf{U}$ 且 $J\in \mathbf{U}$ 且 $f:J\to C$ 是满射, 则 $C\in \mathbf{U}$

证明.

证明. 假设预宇宙公理 3

•	由预宇宙 $\mathbf{U}$ 是传递集可令 $f(j)=j$ 得$$J\in \mathbf{U}⟹\bigcup J\in \mathbf{U}$$
•	若 $C\subseteq \mathbf{U}$ 且 $J\in \mathbf{U}$ 且 $f:J\to C$ 是满射, 则 $C={\bigcup }_{j\in J}\{f(j)\}\in \mathbf{U}$

由 ${\bigcup }_{j\in J}f(j)=\bigcup P\left(f\right)(J)$ 知反之亦然

$\square$

注 1.5. 熟悉朴素集合论的读者不难发现上述值域封闭条件 (2) 说明采用基数 Levi-Tarski 序时, 若预宇宙子集 $X\subseteq \mathbf{U}$ 的基数被 $\mathbf{U}$ 某个元素的基数 “控制” 则 $X$ 也是预宇宙元素. 因此由预宇宙 $\mathbf{U}$ 对幂集封闭和递归定理易知$$\mathbf{U}\ne \varnothing ⟹\left(S\subseteq \mathbf{U}\wedge \mathrm{Card}\left(S\right)<{\aleph }_0⟹S\in \mathbf{U}\right)$$且$$(\forall \mathfrak{a}<{\aleph }_0)(\exists S\in \mathbf{U})\mathrm{Card}\left(S\right)=\mathfrak{a}$$若 $X\in \mathbf{U}$ 则 $\mathrm{Card}\left(X\right)<\mathrm{Card}\left(\mathbf{U}\right)$, 否则由值域封闭公理知 $\mathbf{U}\in \mathbf{U}$ 与 ZF 的正则公理矛盾!

定义 1.6 (集与类). 设 $\mathbf{U}$ 是一个预宇宙.

•	若 $x\in \mathbf{U}$ 则称 $x$ 是一个 $\mathbf{U}$ 集.
•	若 $x\subseteq \mathbf{U}$ 则称 $x$ 是一个 $\mathbf{U}$ 类
•	若 $x\subseteq \mathbf{U}$ 且 $x\notin \mathbf{U}$, 则称 $x$ 是一个 $\mathbf{U}$ 真类
•	若 $(\exists y\in \mathbf{U})\mathrm{Card}\left(x\right)=\mathrm{Card}\left(y\right)$, 则称 $x$ 是一个本质 $\mathbf{U}$ 集

注 1.7. 显然一个 $\mathbf{U}$ 类是本质 $\mathbf{U}$ 集当且仅当是 $\mathbf{U}$ 集.

注 1.8. SGA4 中称本质 $\mathbf{U}$ 集为 $\mathbf{U}$ 小集...

引理 1.9. 设 $\mathbf{U}$ 是一个预宇宙. 集 $X$ 是一个 $\mathbf{U}$ 集当且仅当 $(\exists Y\subseteq \mathbf{U})X\in Y$. 换句话说, 集 $X$ 是 $\mathbf{U}$ 集当且仅当 $X$ 是某个 $\mathbf{U}$ 类的元素.

证明.

证明. 若 $X$ 是一个 $\mathbf{U}$ 集, 令 $Y=\mathbf{U}$. 反之, 由 $X\in Y\subseteq \mathbf{U}$ 得 $X\in \mathbf{U}$.

$\square$

定义 1.10 (宇宙). 若一个预宇宙 $\mathbf{U}$ 满足 $\mathbb{N}\in \mathbf{U}$ 则称为宇宙.

显然空集 $\varnothing$ 是预宇宙但不是宇宙

注 1.11.

•

宇宙存在公理

假定对每个集合 $x$ 存在宇宙 $\mathbf{U}$ 使得 $x\in \mathbf{U}$

范畴, 协变函子, 自然变换

定义 1.12 (范畴). 一个范畴 $\mathcal{C}=({\mathcal{C}}_0,{\mathcal{C}}_1,{\mathcal{C}}_2,{\mathcal{C}}_3)$ 由下列资料组成:

1.	一个集 ${\mathcal{C}}_0$
2.	一族集合 ${\mathcal{C}}_1=({\mathcal{C}}_1(A,B){)}_{(A.B)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0}$
3.	一族映射$${\mathcal{C}}_2={\left({\mathcal{C}}_2(A,B,C):{\mathcal{C}}_1(B,C)\times {\mathcal{C}}_1(A,B)\to {\mathcal{C}}_1(A,C)\right)}_{(A,B,C)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0}$$
4.	一个选择函数 ${\mathcal{C}}_3\in {\prod }_{B\in {\mathcal{C}}_0}{\mathcal{C}}_1(B,B)$

这些资料满足下列范畴公理:

1.	结合公理$$(A,B,C,D)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0⟹(h,g,f)\in {\mathcal{C}}_1(C,D)\times {\mathcal{C}}_1(B,C)\times {\mathcal{C}}_1(A,B)⟹{\mathcal{C}}_2(A,B,D)({\mathcal{C}}_2(B,C,D)(h,g),f)={\mathcal{C}}_2(A,C,D)(h,{\mathcal{C}}_2(A,B,C)(g,f))$$
2.	单位公理$$(A,B,C)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0⟹(g,f)\in {\mathcal{C}}_1(B,C)\times {\mathcal{C}}_1(A,B)⟹{\mathcal{C}}_2(A,B,B)({\mathcal{C}}_3(B),f)=f\wedge g={\mathcal{C}}_2(B,B,C)(g,{\mathcal{C}}_3(B))$$
3.	技术性公理$$(A,B,C,D)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0⟹(A,B)\ne (C,D)⟹{\mathcal{C}}_1(A,B)\cap {\mathcal{C}}_1(C,D)=\varnothing$$

注 1.13.

•	集 ${\mathcal{C}}_0$ 的元素称为对象或 0-态射,
•	集 ${\mathcal{C}}_1(A,B)$ 的元素称为从 $A$ 到 $B$ 的态射或 1-态射,
•	若 $(g,f)\in {\mathcal{C}}_1(B,C)\times {\mathcal{C}}_1(A,B)$, 时常记 $g\circ f={\mathcal{C}}_2(A,B,C)(g,f)$, 称为态射复合
•	态射 ${\mathcal{C}}_3(B)$ 称为 $B$ 的恒等态射
•	集 ${\bigcup }_{(A,B)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0}{\mathcal{C}}_1(A,B)$ 称为范畴 $\mathcal{C}$ 的态射集
•	若 ${\mathcal{C}}_1$ 不满足技术性公理则以 $\{A\}\times \{B\}\times {\mathcal{C}}_1(A,B)$ 代 ${\mathcal{C}}_1(A,B)$ 作技术性调整并滥用记号
•	范畴的选择函数唯一, 因为 ${\mathcal{C}}_3(B)={\mathcal{C}}_2(B,B,B)({\mathcal{C}}_3(B),{\mathcal{C}}_3^{\prime }(B))={\mathcal{C}}_3^{\prime }(B)$
•	存在唯一使得 ${\mathcal{C}}_0=\varnothing$ 的范畴, 此时 ${\mathcal{C}}_1,{\mathcal{C}}_2,{\mathcal{C}}_3$ 皆为空映射而范畴公理虚真, 称为空范畴 $0$

例 1.14. 范畴 ${\mathsf{Ens}}_V$ 的资料:

1.	${\mathsf{Ens}}_V(0)=V$
2.	${\mathsf{Ens}}_V(1)(A,B)=\left\{f\in \{A\}\times \{B\}\times P\left(A\times B\right)\mid (\exists G\subseteq A\times B)\left(f=(A,B,G)\wedge (\forall a\in A)(\exists !b\in B)(a,b)\in G\right)\right\}$
3.	${\mathsf{Ens}}_V(2)(A,B,C)(g,f)(a)=g(f(a))$
4.	${\mathsf{Ens}}_V(3)(B)(b)=b$

例 1.15. 范畴 $\mathsf{Set}={\mathsf{Ens}}_{\mathbf{U}}$

定义 1.16 (协变函子). 设 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 是两个范畴. 一个协变函子 $F=(F_0,F_1):\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 由下列资料组成:

1.	一个映射 $F_0:{\mathcal{C}}_0\to {\mathcal{D}}_0$
2.	一族映射 $F_1={\left(F_1(A,B):{\mathcal{C}}_1(A,B)\to {\mathcal{D}}_1(F_0(A),F_0(B))\right)}_{(A,B)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0}$

这些资料满足下列协变函子公理:

1.	对每个 $(A,B,C)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0$ 下列映射图表交换
2.	$A\in {\mathcal{C}}_0⟹F_1(A,A)({\mathcal{C}}_3(A))={\mathcal{D}}_3(F_0(A))$

函子集记为 $\mathbf{Fct}(\mathcal{C},\mathcal{D})$

注 1.17.

•	映射 $F_0$ 称为对象函数
•	映射 $F_1$ 的诸分量称为态射函数
•	协变函子公理说明函子 “保持”(可复合) 态射的复合与恒等态射
•	不易混淆时, 协变函子简称函子.

例 1.18. 幂集函子

定义 1.19 (自然变换, 函子态射). 设 $F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 和 $G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是两个函子. 一个自然变换 $\tau :F\Rightarrow G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是 ${\prod }_{A\in {\mathcal{C}}_0}{\mathcal{D}}_1(F_0(A),G_0(A))$ 中满足下列自然性公理的一个元素,

自然性公理: 对每个 $(A,B)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0$ 和每个 $f\in {\mathcal{C}}_1(A,B)$ 下列态射图表交换自然变换集记为$$\mathbf{Nat}(\mathcal{C},\mathcal{D})(F,G):=\left\{\tau \in \prod _{A\in {\mathcal{C}}_0}{\mathcal{D}}_1(F_0(A),G_0(A))\mid \left(\forall (A,B)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0\right)\left(\forall f\in {\mathcal{C}}_1(A,B)\right){\mathcal{D}}_2(F_0(A),F_0(B),G_0(B))(\tau (B),F_1(A,B)(f))={\mathcal{D}}_2(F_0(A),G_0(A),G_0(B))(G_1(A,B)(f),\tau (A))\right\}$$

注 1.20.

•	自然变换也称函子态射
•	自然性公理意谓对每个 $(A,B)\in {\mathcal{C}}_0$ 下列映射图表交换

定义 1.21 (小范畴和中等范畴). 设 $\mathbf{U}$ 是一个宇宙且 $\mathcal{C}$ 是一个范畴.

1.	若 $(A,B)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0⟹{\mathcal{C}}_1(A,B)\in \mathbf{U}$ 则称 $\mathcal{C}$ 是一个 $\mathbf{U}$ 局部小范畴.
2.	若 $\mathcal{C}$ 是一个 $\mathbf{U}$ 局部小范畴且 ${\mathcal{C}}_0\in \mathbf{U}$ 则称 $\mathcal{C}$ 是一个 $\mathbf{U}$ 小范畴.
3.	若 $(A,B)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0⟹{\mathcal{C}}_1(A,B)\subseteq \mathbf{U}$ 则称 $\mathcal{C}$ 是一个 $\mathbf{U}$ 局部中等范畴.
4.	若 $\mathcal{C}$ 是一个 $\mathbf{U}$ 局部中等范畴且 ${\mathcal{C}}_0\subseteq \mathbf{U}$ 则称 $\mathcal{C}$ 是一个 $\mathbf{U}$ 中等范畴.
5.	若 $(A,B)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0⟹(\exists x\in \mathbf{U})\mathrm{Iso}({\mathcal{C}}_1(A,B),x)\ne \varnothing$ 则称 $\mathcal{C}$ 是一个本质 $\mathbf{U}$ 局部小范畴.

所有 $\mathbf{U}$ 小范畴的集记为 ${\mathsf{Cat}}_0$

注 1.22. 显然局部小范畴 (resp. 小范畴) 一定是局部中等范畴 (resp. 中等范畴), 反之则未必.

定义 1.23 (函子范畴). 定义函子范畴 ${\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 资料如下:

1.	${\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(0):=\mathbf{Fct}(\mathcal{C},\mathcal{D})$
2.	${\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(1)(F,G):=\mathbf{Nat}(\mathcal{C},\mathcal{D})(F,G)$
3.	${\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(2)(F,G,H)(\sigma ,\tau )(A):={\mathcal{D}}_2(F_0(A),G_0(A),H_0(A))(\sigma (A),\tau (A))$
4.	${\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(3)(F)(A):={\mathcal{D}}_3(F_0(A))$

引理 1.24.

•	函子范畴 ${\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 的资料组成范畴.
•	设 $\mathbf{U}$ 是一个宇宙. 若范畴 $\mathcal{C}$ 满足 ${\mathcal{C}}_0\in \mathbf{U}$ 且 $\mathcal{D}$ 是一个 $\mathbf{U}$ 局部小范畴 (resp. 本质 $\mathbf{U}$ 局部小范畴), 则函子范畴 ${\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 是 $\mathbf{U}$ 局部小范畴 (resp. 本质 $\mathbf{U}$ 局部小范畴). 若 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 都是 $\mathbf{U}$ 小范畴, 则函子范畴 ${\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 是 $\mathbf{U}$ 小范畴.

证明.

证明. Serre: 交换图严格说来只是代数等式

•	下列交换图表说明竖直复合 ${\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(2)(F,G,H)(\sigma ,\tau )$ 的自然性
•	验证结合公理$$\begin{array}{rl}& {\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(2)(F,G,K)({\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(2)(G,H,K)(\theta ,\sigma ),\tau )(A)\\ =& {\mathcal{D}}_2(F_0(A),G_0(A),K_0(A))({\mathcal{D}}_2(G_0(A),H_0(A),K_0(A))(\theta (A),\sigma (A)),\tau (A))\\ =& {\mathcal{D}}_2(F_0(A),H_0(A),K_0(A))(\theta (A),{\mathcal{D}}_2(F_0(A),G_0(A),H_0(A))(\sigma (A),\tau (A)))\\ =& {\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(2)(F,H,K)(\theta ,{\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(2)(F,G,H)(\sigma ,\tau ))(A)\end{array}$$即若下列两个三角形图表交换则全图交换
•	验证单位公理$$\begin{array}{rl}& {\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(2)(F,G,G)({\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(3)(G),\tau )(A)\\ =& {\mathcal{D}}_2(F_0(A),G_0(A),G_0(A))({\mathcal{D}}_3(G_0(A)),\tau (A))\\ =& \tau (A)\\ =& {\mathcal{D}}_2(F_0(A),F_0(A),G_0(A))(\tau (A),{\mathcal{D}}_3(F_0(A)))\\ =& {\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(2)(F,F,G)(\tau ,{\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})(3)(F))(A)\end{array}$$
•	注意到$$\mathbf{Nat}(\mathcal{C},\mathcal{D})(F,G)\subseteq P\left({\mathcal{C}}_0\times \bigcup _{(A,B)\in {\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{C}}_0}{\mathcal{D}}_1(F_0(A),G_0(A))\right)$$则由结构的 “典范扩张” 知若范畴 $\mathcal{C}$ 满足 ${\mathcal{C}}_0$ 是本质 $\mathbf{U}$ 集且 $\mathcal{D}$ 是一个本质 $\mathbf{U}$ 局部小范畴, 则函子范畴 ${\mathsf{CAT}}_1(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 是本质 $\mathbf{U}$ 局部小范畴.

$\square$

定义 1.25 (积范畴). ?

定义 1.26 (函子复合与自然变换的水平复合). ?

引理 1.27 (复合结合律). ?

定义 1.28 (恒等函子). ?

引理 1.29 (单位律). ?

定义 1.30 (2-范畴). 2-范畴是幺约束为自然同构的左 2-范畴. 诸约束为恒等变换的双范畴称为严格 2-范畴. 对象集为单元素集的 2-范畴称为幺半范畴

定义 1.31 (2-范畴的对偶). 倒转 2-态射的 2-范畴称为共轭 2-范畴. 倒转 1-态射的 2-范畴称为相反 1-范畴. 共轭相反 2-范畴称为对称-2 范畴.

定理 1.32. $\mathsf{Cat}$ 是严格 2-范畴

证明.

证明. Q.E.D.

$\square$

2伴随 2-范畴

定义 2.1 (伴随). 伴随 2-范畴

注 2.2. Galois 联络

定理 2.3. 参数伴随

证明.

证明. 见郑乐隽 (返朴音译为尤金妮娅·程)-Gurski-Riehl

$\square$

3单子

定义 3.1 (2-函子). ? 诸约束为自然同构的 2-函子称为强 2-函子. 诸约束为恒等同构的 2-函子称为严格 2-函子.

定义 3.2 (幺半函子). 幺半范畴间的 2-函子称为幺半函子. 诸约束为自然同构的幺半函子称为强幺半函子. 诸约束为恒等同构的幺半函子称为严格幺半函子.

定义 3.3 (单子). 单子是一个 2-函子 $1\to \mathcal{C}$.

注 3.4. 若 $\mathcal{C}=\mathsf{Cat}$ 则单子是自函子范畴上的一个幺半群对象.

4充实范畴

定义 4.1. 充实范畴

5通用构造

定义 5.1 (逗号范畴与切片范畴). ?

引理 5.2. 泛性质

定义 5.3. 反向极限与正向极限

引理 5.4. 函子在初始对象的的值是反向极限

定义 5.5. Kan 扩张

定理 5.6. 逐点 Kan 扩张

定义 5.7. 保持 Kan 扩张

推论 5.8. 极限保持

引理 5.9. ?

推论 5.10. 米田引理

证明.

证明. 略

$\square$

定义 5.11. end 和 coend

定义 5.12 (范畴的 Freyd 预序关系). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, 则易证关系 $x\sim y:⟺{\mathrm{hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)\ne \varnothing$ 是预序关系, 为简便称为范畴的 Freyd 预序关系.

定义 5.13 (连通等价与 Berthiaume 连通范畴). 若范畴 $\mathcal{C}$ 的 Freyd 预序关系 $\le$ 生成的等价关系等价称为连通等价关系. 若范畴 $\mathcal{C}$ 的任意两个对象连通等价, 则称范畴 $\mathcal{C}$ 是一个 Berthiaume 连通范畴, 简称连通范畴.

定义 5.14 (Hausdorff–Berthiaume 共尾函子). 若函子 $L:\mathcal{J}\to \mathcal{I}$ 满足 $(\forall i\in {\mathcal{I}}_0)$ 逗号范畴 $(i\downarrow L)$ 连通且对象集非空, 则称函子 $L:\mathcal{J}\to \mathcal{I}$ 为一个右 Hausdorff–Berthiaume 函子或右共尾 (confinal) 函子.

注 5.15. 共尾概念最迟由 Cantor 氏于 19 世纪末提出 (其称为基本序列), 此名由 Hausdorff 定于 1906 并沿用至七十年代末, MacLane 倡议以 final 称之盖 $\{j\}\to I$ 右共尾谓 $j$ 终, 然近年范畴学者中有复古之势...

定理 5.16. 设 $L:\mathcal{J}\to \mathcal{I}$ 和 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{X}$ 是函子. 若 $L:\mathcal{J}\to \mathcal{I}$ 右共尾且 $(\underrightarrow{\lim }(F\circ L),\mu )$ 是 $F\circ L$ 的正向极限, 则存在自然变换 ${\tau }_i:F(i)\to \underrightarrow{\lim }(F\circ L)$ 使得 $(\underrightarrow{\lim }(F\circ L),\tau )$ 是 $F$ 的正向极限.

证明.

证明. 设 ${\mu }_j:FL(j)\to \underrightarrow{\lim }(F\circ L)$ 为典范态射, 由诸 $(i\downarrow L)$ 连通易证 $(\forall (j,u),(j^{\prime },u^{\prime })\in (i\downarrow L{)}_0)$ 有 ${\mu }_j\circ F(u)={\mu }_{j^{\prime }}\circ F(u^{\prime })$, 由 $(i\downarrow L{)}_0\ne \varnothing$ 知可对每个 $i\in {\mathcal{I}}_0$ 由选择公理选择 $(j(i),u(i))\in (i\downarrow L{)}_0$ 且令 ${\tau }_i={\mu }_{j(i)}\circ F(u(i))$, 则易证诸 ${\tau }_i:F(i)\to \underrightarrow{\lim }(F\circ L)$ 组成自然变换. 现欲证 $\underrightarrow{\lim }(F\circ L)=\underrightarrow{\lim }(F)$, 若 ${\lambda }_i:F(i)\to x$ 组成自然变换, 则猫须合成 $\lambda {\circ }_{w}L$ 是自然变换, 由 $(\underrightarrow{\lim }(F\circ L),\mu )$ 的通用性质可知存在唯一 $h:\underrightarrow{\lim }(F\circ L)\to x$ 使得 $h\circ {\mu }_j={\lambda }_{L(j)}$, 即 $h\circ {\tau }_i=h\circ {\mu }_{j(i)}\circ F(u(i))={\lambda }_{L(j(i))}\circ F(u(i))={\lambda }_i$, 因此 $(\underrightarrow{\lim }(F\circ L),\tau )=\underrightarrow{\lim }(F)$.

$\square$

注 5.17. 若 $\mathcal{X}$ 余完备则上述命题之逆也成立, 若 $\mathcal{I}$ 是预序诱导的范畴且 $L$ 为含入, 则命题退化为 BourbakiVol.1Chap.III$\S 7.1$no.2Prop.3 其共尾函子概念与香蕉空间上的词条一致, 亦可参考 Kashiwara–SchapiraProp.2.5.2

定义 5.18 (忠实函子与全满函子). 设 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是一个函子. 若 $F_1$ 的每个分量都是单射 (resp. 满射), 则称函子 $F$ 是忠实的 (resp. 全满的)

定义 5.19 (子范畴). 一个范畴 $\mathcal{C}$ 的子范畴 $\mathcal{B}$ 由下列资料组成:

1.	一个子类 ${\mathcal{B}}_0\subseteq {\mathcal{C}}_0$
2.	一族集合 ${\mathcal{B}}_1=({\mathcal{B}}_1(A,B){)}_{(A,B)\in {\mathcal{B}}_0\times {\mathcal{B}}_0}$ 使得$$(A,B)\in {\mathcal{B}}_0\times {\mathcal{B}}_0⟹{\mathcal{B}}_1(A,B)\subseteq {\mathcal{C}}_1(A,B)$$
3.

定义 5.20. 子函子

6作为部分代数的范畴

定义 6.1 (箭图). 一个箭图 (quiver) 的资料是两个集合 $A$,$V$, 以及两个映射 $s,t:A\to V$

定义 6.2 (范畴). 一个范畴 (category) 的资料 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)=(C_0,C_1,C_2,C_3)$ 是一个箭图 $s,t:A\to A$ 和一个部分二元运算 $\mu :\mathrm{Pb}\left(s,t\right)\to A$, 且范畴满足下列公理:

1.	若有定义则 $s(\mu (g,f))=s(f)$ 且 $t(\mu (g,f))=t(g)$, 即
2.	条件结合律:$(h,g),(g,f)\in \mathrm{Pb}\left(s,t\right)⟹\mu (\mu (h,g),f)=\mu (h,\mu (g,f))$, 即
3.	$t\circ s=s$ 和 $s\circ t=t$, 即
4.	右 unit 公理:$(\forall f\in A)\mu (f,s(f))=f$, 即 $\mu \circ r=\mathrm{id}\left(A\right)$, 其中记 $r={\kappa }^{-1}(s,t\circ s)$
5.	左 unit 公理:$(\forall f\in A)\mu (t(f),f)=f$, 即 $\mu \circ \ell =\mathrm{id}\left(A\right)$, 其中记 $\ell ={\kappa }^{-1}(s\circ t,t)$

其中 $s:A\to A$(resp.$t:A\to A$) 称为右 (resp. 左)unit 映射.

注 6.3. 显然公理 (1) 保证了条件结合律公理 (2) 有定义, 而公理 (3) 保证了 unit 公理 (4) 和 (5) 有定义. 常滥用语言及符号称 $A$ 的元素为范畴 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$ 的元素.

例 6.4 (空范畴). 存在唯一满足 $A=\varnothing$ 的范畴 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$(诸构造及验证乃一本道), 称为空范畴, 记为 $0$

引理 6.5. 左右 unit 映射 $t,s:A\to A$ 均幂等

证明.

证明. 由条件 (1) 注意到$$s\circ s=s\circ t\circ s=t\circ s=s$$同理可得$$t\circ t=t\circ s\circ t=s\circ t=t$$

$\square$

注 6.6. 由公理 (3) 和引理得到交换图

引理 6.7. 范畴 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$ 中 $s⟨A⟩=\mathrm{Fix}\left(s\right)=\mathrm{Fix}\left(t\right)=t⟨A⟩$

证明.

证明. 若 $s(f)=f$, 则由公理 (3) 知 $t(f)=t(s(f))=s(f)=f$, 反之同理. 因此 $\mathrm{Fix}\left(s\right)=\mathrm{Fix}\left(t\right)$. 由 $s$ 幂等知 $s⟨A⟩=\mathrm{Fix}\left(s\right)$.

$\square$

定义 6.8 (恒等态射). 范畴 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$ 中 $\mathrm{Fix}\left(s\right)=\mathrm{Fix}\left(t\right)$ 的元素称为恒等态射.

引理 6.9 (identity lemma). 命题 $f\in \mathrm{Fix}\left(t\right)$ 成立当且仅当$$(\forall g\in A)\left((g,f)\in \mathrm{Pb}\left(s,t\right)⟹\mu (g,f)=g\right)$$

证明.

证明. 若 $f\in \mathrm{Fix}\left(t\right)$ 且 $(g,f)\in \mathrm{Pb}\left(s,t\right)$, 则 $f=t(f)=s(g)$, 从而 $\mu (g,f)=\mu (g,s(g))=g$. 反之, 令 $g=t(f)$, 则由假设和左 unit 公理知 $t(f)=\mu (t(f),f)=f$.

$\square$

定义 6.10 (幺半群). 一个满足 $A\ne \varnothing$ 且 $s=t$ 且 $\mathrm{KerP}\left(s\right)=A\times A$ 的范畴 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)=((A,(s,t)),\mu )$ 称为 (半群意义上的) 幺半群, 任意 $s(f)$ 称为其幺元.

注 6.11. 显然, 幺半群的幺元唯一是被包含在映射的定义之中的.

引理 6.12. 满足 $s=t$ 的范畴 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$ 是幺半群的不交并 $A={\bigcup }_{h\in \mathrm{Fix}\left(s\right)}{s}^{-1}(h)$

证明.

证明. 注意到不交并分解 $A={\bigcup }_{h\in A}{s}^{-1}(h)$ 和$$\mathrm{KerP}\left(s\right)=\bigcup _{h\in A}\left(s^{-1}(h)\times s^{-1}(h)\right)$$公理 (1) 意谓$$(\forall h\in A)(\forall g,f\in s^{-1}(h))\mu (g,f)\in s^{-1}(h)$$因此 $\mu$ 可分解为一族二元运算 ${\mu }_h:s^{-1}(h)\times s^{-1}(h)\to s^{-1}(h)$, 公理 (2) 意谓每个 ${\mu }_h$ 满足结合律, 公理 (3) 意谓 $s⟨A⟩=\mathrm{Fix}\left(s\right)$, 从而有$$f\in s^{-1}(h)⟹s(f)\in s^{-1}(h)$$因此 $s$ 可分解为一族幂等映射 $s_h:s^{-1}(h)\to s^{-1}(h)$

$\square$

定义 6.13 (离散范畴). 满足 $\mathrm{Fix}\left(s\right)=A$ 的范畴 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$ 称为离散范畴 (discrete category)

例 6.14 (集合诱导的离散范畴). 对于给定集合 $A$, 令 $s=t=\mathrm{id}\left(A\right)$ 且 $\mu :\Delta (A)\ni (f,f)\mapsto f\in A$ 得到的范畴记为 $\mathrm{Disc}(A)$

定义 6.15 (函子). 函子 $F:\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)\to {\mathcal{C}}^{\prime }=\left(\left(A^{\prime },\left(s^{A^{\prime }},t^{A^{\prime }}\right)\right),{\mu }^{A^{\prime }}\right)$ 意谓一个满足下列公理的映射 $F:A\to A^{\prime }$

1.	$s^B\circ F=F\circ s^A$ 和 $t^B\circ F=F\circ t^A$, 即
2.	${\mu }^{A^{\prime }}\circ (F\times F){|}_{s^A,t^A}^{s^{A^{\prime }},t^{A^{\prime }}}=F\circ {\mu }^A$, 即其中 $(F\times F){|}_{s^A,t^A}^{s^{A^{\prime }},t^{A^{\prime }}}:=(F\times F){|}_{\mathrm{Pb}\left(s^A,t^A\right)}^{\mathrm{Pb}\left(s^{A^{\prime }},t^{A^{\prime }}\right)}$

注 6.16. 函子公理 (1) 保证了函子公理 (2) 中 $(F\times F){|}_{s^A,t^A}^{s^{A^{\prime }},t^{A^{\prime }}}$ 是良定义的

定义 6.17 (稳定子集). 一个范畴 ${\mathcal{C}}^{\prime }=\left(\left(B,\left(s^B,t^B\right)\right),{\mu }^B\right)$ 的稳定子集 (或容许子集) 意谓一个满足下列条件的子集 $A\subseteq B$

1.	$s^B⟨A⟩\subseteq A$ 和 $t^B⟨A⟩\subseteq A$
2.	${\mu }^B⟨\mathrm{Pb}\left(s^A,t^A\right)⟩\subseteq A$

其中 $s^A:=s^B{|}_A^A$ 且 $t^A:=t^B{|}_A^A$

定义 6.18 (子范畴). 设 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$ 和 ${\mathcal{C}}^{\prime }=\left(\left(A^{\prime },\left(s^{A^{\prime }},t^{A^{\prime }}\right)\right),{\mu }^{A^{\prime }}\right)$ 是两个范畴, 若 $A\subseteq A^{\prime }$ 且含入映射 $ı:A{\stackrel{A}{\hookrightarrow }}^{\prime }$ 是函子, 则称 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$ 是 ${\mathcal{C}}^{\prime }=\left(\left(A^{\prime },\left(s^{A^{\prime }},t^{A^{\prime }}\right)\right),{\mu }^{A^{\prime }}\right)$ 的子范畴.

引理 6.19. 稳定子集与子范畴一一对应

证明.

证明. 与泛代数初步中的证明类似.

$\square$

定义 6.20 (逆元与同构). 范畴 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$ 中,

•	若满足$$(g,f)\in \mathrm{Pb}\left(s,t\right)\wedge \mu (g,f)=s(f)$$则称 $g\in A$ 为 $f\in A$ 的一个左逆元
•	若满足$$(f,g)\in \mathrm{Pb}\left(s,t\right)\wedge \mu (f,g)=t(f)$$则称 $g\in A$ 为 $f\in A$ 的一个右逆元.
•	若 $g\in A$ 既是 $f\in A$ 的左逆元也是 $f\in A$ 的右逆元, 则称为 $f\in A$ 的双边逆元.
•	若 $f\in A$ 存在双边逆元 $f^{-1}$ 则称 $f\in A$ 是一个同构 (isomorphism) 或可逆元 (invertible element). 所有可逆元集记为 $\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)$

引理 6.21 (左右逆元相等). 范畴 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$ 中元素 $f\in A$ 的右逆元 $g$ 等于左逆元 $h$. 特别地, 双边逆元唯一.

证明.

证明. 注意到$$g=\mu (t(g),g)=\mu (s(f),g)=\mu (\mu (h,f),g)=\mu (h,\mu (f,g))=\mu (h,t(f))=\mu (h,s(h))=h$$

$\square$

注 6.22. 不易混淆时 $f\in A$ 的唯一双边逆元 $f^{-1}$ 简称逆元. 因此一个非空范畴中每个元素, 或者存在唯一双边逆元, 或者只存在左逆元, 或者只存在右逆元

定义 6.23 (H.Brandt 群胚,1927). 一个群胚 (groupoid) 意谓所有元素都有 (双边) 逆元的范畴. 因此在群胚中用 $f^{-1}$ 表示 $f\in A$ 的唯一双边逆元.

定义 6.24 (范畴的核心群胚). 一个范畴 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$ 的核心 (core) 群胚的资料 $\mathrm{Core}\left(\mathcal{C}\right)$ 是

1.	集合 $\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)$ 和
2.	$s{|}_{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}:\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)\to \mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)$ 和
3.	$t{|}_{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}:\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)\to \mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)$ 和
4.	$\mu {|}_{\mathrm{Pb}\left(s{|}_{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)},t{|}_{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}:\mathrm{Pb}\left(s{|}_{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)},t{|}_{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}\right)\to \mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)$

引理 6.25. 设 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$ 是一个范畴

•

对于每个 $f\in A$, 元素 $s(f)$ 和 $t(f)$ 是幂等元并且分别是自身的逆元. 从而 $s{|}_{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}:\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)\to \mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)$ 和 $t{|}_{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}:\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)\to \mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)$ 是映射

•

若 $f\in A$(resp.$g\in A$) 有逆元 $f^{-1}\in A$ 和 $g^{-1}\in A$, 则 $\mu (g,f)$ 有逆元 $\mu (f^{-1},g^{-1})$. 从而 $\mu {|}_{\mathrm{Pb}\left(s{|}_{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)},t{|}_{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}:\mathrm{Pb}\left(s{|}_{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)},t{|}_{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}^{\mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)}\right)\to \mathrm{Inv}\left(\mathcal{C}\right)$ 是映射

因此核心群胚是群胚.

证明.

证明.

•

由范畴公理 (3) 知 $\mu (s(f),s(f))$ 有定义: $$s(s(f))=s(f)=t(s(f))$$再由左 unit 公理知每个 $s(f)$ 是幂等元: $$\mu (s(f),s(f))=\mu (t(s(f)),s(f))=s(f)$$从而每个 $s(f)$ 是自身的逆元, 同理可知每个 $t(f)$ 是自身的逆元.

•

注意到 $s(f^{-1})=t(f)=s(g)=t(g^{-1})$ 和 $s(f)=t(f^{-1})$, 则$$\mu \left(\mu (g,f),\mu (f^{-1},g^{-1})\right)=\mu \left(\mu \left(\mu (g,f),f^{-1}\right),g^{-1}\right)=\mu \left(\mu \left(g,\mu (f,f^{-1})\right),g^{-1}\right)=\mu \left(\mu (g,t(f)),g^{-1}\right)=\mu \left(\mu (g,s(g)),g^{-1}\right)=\mu (g,g^{-1})=t(g)=t(\mu (g,f))$$同理可得 $\mu \left(\mu (f^{-1},g^{-1}),\mu (g,f)\right)=s(f)=s(\mu (g,f))$

$\square$

定义 6.26 (Ehresmann module over a category). 一个范畴 $\mathcal{C}=\left(\left(A,\left(s^A,t^A\right)\right),{\mu }^A\right)$ 上的一个 Ehresmann 模的资料是 $\mathcal{M}=(S,p^S,{\mathrm{act}}_S^C)$, 其中

1.	$S$ 是一个集合
2.	$p^S:S\to A$ 是一个映射
3.	${\mathrm{act}}_S^C:\mathrm{Pb}\left(s^A,p^S\right)\to S$ 是一个映射

这些资料满足下列模公理:

1.	交换图表
2.	条件形式结合律: $$(g,f)\in \mathrm{Pb}\left(s^A,t^A\right)⟹(f,z)\in \mathrm{Pb}\left(s^A,p^S\right)⟹{\mathrm{act}}_S^C(g,{\mathrm{act}}_S^C(f,z))={\mathrm{act}}_S^C({\mu }^A(g,f),z)$$
3.	条件形式单位律: $$e\in s⟨A⟩⟹(e,z)\in \mathrm{Pb}\left(s^A,p^S\right)⟹{\mathrm{act}}_S^C(e,z)=z$$

注 6.27. Ehresmann 自己称 Ehresmann 模为算子范畴 (Kategorie von Operatoren)... 若令 $A^{\prime }=s^{-1}⟨p⟨S⟩⟩$ 且 $S^{\prime }=p^{-1}⟨s⟨C⟩⟩$ 则 $S^{\prime }$ 是 $A^{\prime }$ 上的 Ehresmann 模,Ehresmann 还假设 $A\subseteq A^{\prime }$ 且 $S\subseteq S^{\prime }$

注 6.28. 对每个 $f\in A$ 令 $\Phi (f):p^{-1}(s(f))\ni z\mapsto {\mathrm{act}}_S^C(f,z)\in p^{-1}(t(f))$, 则 $\Phi ⟨A⟩$ 组成范畴且公理意谓 $\Phi$ 是函子