用户: 上埜久/集合论初步/良序集与序数

直觉上, 一个有最小元的全序集 $W$ 称为良序集若满足 $A\subseteq W$ 且 $A$ 有严格上界蕴含 $A$ 有极小严格上界. 特别地, 若 $x\in W$ 非极大元, 则有一个直接后继 $x^{+}$. 若无穷序列 $x<x^{+}<x^{++}<\cdots <x^{(n)}<x^{(n+1)}<\cdots$ 有严格上界, 则有严格上确界.

良序集的真前段必然形如 $W_{<x}=\{y\in W\mid y<x\}$, 其中 $x=\min (W\setminus W_{<x})$.

良序集 $W$ 中的元素 $x$ 必然是下列三种情况之一

(i)	$x$ 是最小元, 即 $x=\min (W)$.
(ii)	非空子集 $\{y\in W\mid y<x\}$ 有最大元 $y$, 此时 $x=\min \{z\in W\mid y<z\}$ 是 $y$ 的直接后继.
(iii)	非空子集 $\{y\in W\mid y<x\}$ 无最大元, 此时 $x=\sup \{y\in W\mid y<x\}$ 是极限元.

1良序集的四个定理

Zermelo 引理与 Cantor 比较定理

定理 1.1 (Zermelo 引理). 设 $f:W\to W$ 是良序集 $W$ 上的一个自同态, 则 $f$ 是扩张的 (expansive), 即 $(\forall x\in W)x\le f(x)$.

证明. 反设 $(\exists x\in W)f(x)<x$, 由假设知存在最小的 $a\in W$ 使得 $f(a)<a$, 则由假设知 $f(f(a))<f(a)$, 因此由 $a$ 的最小性知 $a\le f(a)$ 与 $f(a)<a$ 矛盾!

$\square$

推论 1.2. 设 $W$ 是一个良序集, 则其不同构于任意真前段, 即 $(\forall x\in W)W\ncong W_{<x}$

证明. 反设 $(\exists x\in W)$ 使得 $f:W\to W_{<x}$ 是同构, 则 $f(x)<x$ 与 1.1 矛盾!

$\square$

定义 1.3 (刚性对象与刚性范畴). 一个对象 $x$ 称为刚性的 (rigid), 如果每个自同构是恒等态射, 即 $\mathrm{Aut}(x)=\{\mathrm{id}(x)\}$. 每个对象都刚性的范畴称为刚性范畴.

推论 1.4. 良序集范畴 $\mathbf{Woset}$ 是刚性范畴

证明. 设 $f:W\to W$ 是良序集的自同构, 则由 1.1 知 $x\le f(x)$ 且 $x\le f^{-1}(x)$, 因此 $f=\mathrm{id}(W)$.

$\square$

注 1.5. 上述两推论说明了下列三种情况互相排斥

(i)	$A\cong B_{<b}$.
(ii)	$A\cong B$.
(iii)	$A_{<a}\cong B$.

下列定理说明上述三种情况至少有一种成立

定理 1.6 (Cantor 良序集比较定理). 设 $A$ 和 $B$ 是两个良序集, 则存在 $a\in A$ 和 $b\in B$ 使得下列三种情况之一成立

(i)	$A\cong B_{<b}$.
(ii)	$A\cong B$.
(iii)	$A_{<a}\cong B$.

证明. 令 $f=\{(a,b)\in A\times B\mid \mathrm{Iso}\left(A_{<a},B_{<b}\right)\ne \varnothing \}$. 首先, 若 $(a,b)\in f$ 且 $(a^{\prime },b^{\prime })\in f$ 且 $a=a^{\prime }$ 则$$B_{<b}\cong A_{<a}\cong A_{<a^{\prime }}\cong B_{<b^{\prime }}$$从而 $b=b^{\prime }$, 反之同理. 于是若 $(a,b)\in f$ 且 $(a^{\prime },b^{\prime })\in f$ 则 $a=a^{\prime }⟺b=b^{\prime }$. 因此 $f$ 是其定义域到值域的双射. 其次, 假设 $a<a^{\prime }$ 且 $(a,b)\in f$ 且 $(a^{\prime },b^{\prime })\in f$, 则存在同构 $g:A_{<a^{\prime }}\to B_{<b^{\prime }}$, 注意到$$g[A_{<a}]=\{g(t)\in B_{<b^{\prime }}\mid t<a\}=\{g(t)\in B_{<b^{\prime }}\mid g(t)<g(a)\}=\{s\in B_{<b^{\prime }}\mid s<g(a)\}=B_{<g(a)}$$因此 $g{|}_{A_{<a}}^{B_{<g(a)}}:A_{<a}\to B_{<g(a)}$ 是同构, 从而 $(a,g(a))\in f$, 则 $b=g(a)<b^{\prime }$. 因此 $f:\mathrm{dom}\left(f\right)\to \mathrm{ran}\left(f\right)$ 是同构且 $\mathrm{dom}\left(f\right)$ 是 $A$ 的前段, 同理可知 $\mathrm{ran}\left(f\right)$ 是 $B$ 的前段. 最后, 反设分别存在 $A\setminus \mathrm{dom}\left(f\right)$ 和 $B\setminus \mathrm{ran}\left(f\right)$ 的最小元 $a$ 和 $b$ 使得 $\mathrm{dom}\left(f\right)=A_{<a}$ 且 $\mathrm{ran}\left(f\right)=B_{<b}$, 则由前面的证明知 $(a,b)\in f$, 从而 $a\in \mathrm{dom}\left(f\right)$ 与假设 $a\in A\setminus \mathrm{dom}\left(f\right)$ 矛盾! 因此得到结论.

$\square$

一个形式上略有不同的证明可见 Kelley 的附录, 这一定理也可用超穷归纳或 Zorn 引理证明.

推论 1.7. 设 $W$ 是一个良序集. 若 $A\subseteq W$, 则 $A$ 同构于 $W$ 的一个前段, 即 $A\cong W_{<x}$ 或 $A\cong W$.

证明. 由 1.6 知若反设 $W\cong A_{<a}$, 则由假设知 $W$ 同构于其一个真前段与 1.2 矛盾!

$\square$

超穷归纳与超穷递归

定理 1.8 (超穷归纳法). 令 $W$ 是一个良序集且 $X\subseteq W$. 若 $W_{<x}\subseteq X⟹x\in X$, 则 $X=W$.

证明. 反设 $X\ne W$ 则非空子集 $W\setminus X$ 存在最小元 $x$, 因此前段 $W_{<x}\subseteq X$ 而由假设知 $x\in X$, 这与前面 $x\in W\setminus X$ 矛盾!

$\square$

注 1.9. 超穷归纳法可以重述为良序集的遗传子集是自身. 利用超穷归纳法可以证明 $\{x\in W\mid x\le f(x)\}$ 是遗传子集, 从而重新证明 Zermelo 引理.

注 1.10. 令 $X=\{x\in W\mid P(x)\}$, 则超穷归纳法可以重述为$$(\forall x\in W)((\forall y\in W_{<x})P(y)⟹P(x))⟹(\forall x\in W)P(x)$$

定理 1.11 (超穷递归定理模式). 令 $W$ 是一个良序集且 $G:\mathbf{V}\to \mathbf{V}$ 是一个类函数, 则存在唯一一个函数图像 $f$ 使得 $\mathrm{dom}\left(f\right)=W$ 且 $(\forall x\in W)f(x)=G(f{|}_{W_{<x}})$

证明. 因每个良序集都可添加一个最大元 $u$ 成为新良序集 $W^{\prime }=W\cup \{u\}$ 的真前段, 即 $W=W_{<u}^{\prime }$. 只需证对每个 $x\in W^{\prime }$ 恰有一个 $W_{<x}^{\prime }$ 上的函数 $f$ 使得$$(\forall y\in W_{<x}^{\prime })f(y)=G(f{|}_{W_{<y}^{\prime }})$$先证唯一性. 假设对每个 $x\in W^{\prime }$ 有两个这样的函数 $f$ 和 $g$, 若 $y\in W_{<x}^{\prime }$ 且 $(\forall z\in W_{<y}^{\prime })f(z)=g(z)$, 即 $y\in W_{<x}^{\prime }$ 且 $f{|}_{W_{<y}^{\prime }}=g{|}_{W_{<y}^{\prime }}$, 则$$f(y)=G(f{|}_{W_{<y}^{\prime }})=G(g{|}_{W_{<y}^{\prime }})=g(y)$$由 1.8 知 $(\forall y\in W_{<x}^{\prime })f(y)=g(y)$, 即 $f=g$.

再证存在性. 假设 $x\in W^{\prime }$ 且对每个 $y\in W_{<x}^{\prime }$ 存在 $W_{<y}^{\prime }$ 上的函数 $g$ 满足$$(\forall z\in W_{<y}^{\prime })g(z)=G(g{|}_{W_{<z}^{\prime }})$$则由唯一性的证明知对每个 $y\in W_{<x}^{\prime }$ 存在唯一 $W_{<y}^{\prime }$ 上的函数 $g_y$ 满足 $(\forall z\in W_{<y}^{\prime })g(z)=G(g{|}_{W_{<z}^{\prime }})$. 分两种情况考虑. 若 $x\in W^{\prime }$ 是某个 $y$ 的直接后继元, 则 $g_x=g_y\cup \{(y,G(g{|}_{W_{<y}^{\prime }}))\}$ 是 $W_{<x}^{\prime }$ 上的函数且满足$$(\forall z\in W_{<x}^{\prime })g_x(z)=G(g_x{|}_{W_{<z}^{\prime }})$$若 $x$ 是 $W^{\prime }$ 中的一个最小元或极限元, 由替换公理模式知 $\{g_y\mid y\in W_{<x}^{\prime }\}$ 是集合. 若在 $W_{<x}^{\prime }$ 中 $y^{\prime }<y$ 则 $W_{<y^{\prime }}^{\prime }\subset W_{<y}^{\prime }$, 因为对于每个 $z\in W_{<y^{\prime }}^{\prime }$ 有$$g_y{|}_{W_{<y^{\prime }}^{\prime }}(z)=g_y(z)=G(g_y{|}_{W_{<z}^{\prime }})=G((g_y{|}_{W_{<y^{\prime }}^{\prime }}){|}_{W_{<z}^{\prime }})$$从而由唯一性证明知 $g_y{|}_{W_{<y^{\prime }}^{\prime }}=g_{y^{\prime }}$. 因此 $g_x={\bigcup }_{y\in W_{<x}^{\prime }}{g}_y$ 是 $W_{<x}^{\prime }$ 上的函数且满足$$(\forall z\in W_{<x}^{\prime })g_x(z)=G(g_x{|}_{W_{<z}^{\prime }})$$最后由 1.8 知对每个 $x\in W^{\prime }$ 存在 $W^{\prime }$ 上的函数 $g$ 满足$$(\forall y\in W_{<x}^{\prime })f(y)=G(f{|}_{W_{<y}^{\prime }})$$

$\square$

注 1.12. 注意在超穷递归的存在性证明的极限步骤中需要替换公理模式. 这里关于良序集的处理几乎是标准的.

2序数

为简便计, 现代序数理论通常承认正则公理, 这使得可以避免 Bernays-Bourbaki 序数或 Zermelo 序数

定义 2.1 (传递集). 集合 $\alpha$ 被称为传递的 (transitive)¹, 如果 $\bigcup \alpha \subseteq \alpha$, 即 $\alpha \subseteq P(\alpha )$

注 2.2. 集合 $\alpha$ 是传递集意谓 $y\in x\in \alpha ⟹y\in \alpha$. 因此传递集 $\alpha$ 的 $\in$ 递降链的每项均属于 $\alpha$.

定义 2.3 (序数). 传递集合 $\alpha$ 被称为序数, 如果它关于 $\in$ 是良序集, 即$$(\forall x,y\in \alpha )(x\in y\vee x=y\vee y\in x)$$$$\varnothing \ne x\subseteq \alpha ⟹(\exists y\in x)(x\cap y=\varnothing )$$

注 2.4. 显然若承认正则公理则序数可等价地定义为关于 $\in$ 全序的传递集.

引理 2.5. 序数 $\alpha$ 中不存在 $\in$ 无穷递降链. 特别地, 有 $x\notin x\in \alpha$.

证明. 反设存在无穷递降链 $\cdots \in x_{n+1}\in x_n\in \cdots \in x_1\in \alpha$, 则由序数是传递集知每个 $x_n\in \alpha$, 即 $\mathrm{ran}\left(x\right)\subseteq \alpha$, 由 $\mathrm{ran}\left(x\right)\ne \varnothing$ 和序数定义知存在 $x_n\in \mathrm{ran}\left(x\right)$ 使得 $x_n\cap \mathrm{ran}\left(x\right)=\varnothing$, 与假设 $x_{n+1}\in x_n\cap \mathrm{ran}\left(x\right)$ 矛盾!

$\square$

注 2.6. 对于正则公理蕴含不存在 $\in$ 无穷递降链的一般证明只需稍加修改上述证明, 其中替换公理模式保证 $\mathrm{ran}\left(x\right)$ 是集合.

注 2.7. 既然不存在 $\in$ 无穷递降链自然不存在 $\in$ 有限周期递降链, 否则按周期重复组成一个 $\in$ 无穷递降链得到矛盾!

推论 2.8 (序数的元素是序数). 设 $\alpha$ 是一个序数. 若 $x\in \alpha$ 则 $x$ 是序数.

证明. 若 $z\in y\in x$, 则 $z\in y\in x\in \alpha$, 因为序数 $\alpha$ 是传递集, 则 $z\in \alpha$, 由序数的 $\in$ 三岐性知 $z\in x$ 或 $z=x$ 或 $x\in z$, 在后两种情况有 $x\in y\in x\in \alpha$ 或 $x\in z\in y\in x\in \alpha$ 与 2.5 矛盾! 因此必然有 $z\in x$, 因此 $x$ 是传递集. 若 $a,b\in x$, 同样由序数 $\alpha$ 是传递集知 $a,b\in \alpha$, 则 $a\in b$ 或 $a=b$ 或 $b\in a$.

$\square$

注 2.9. 假设 $\varnothing \ne y\subseteq x\in \alpha$, 则 $\varnothing \ne y\subseteq \alpha$, 因此存在 $z\in y$ 使得 $z\cap y=\varnothing$.

推论 2.10. 设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是序数, 则$$\alpha \in \beta ⟺\alpha \subset \beta$$

证明. 先证必要性. 假设 $\alpha \in \beta$, 由序数 $\beta$ 是传递集知 $\alpha \subseteq \beta$, 若 $\alpha =\beta$, 则 $\alpha \in \alpha \in \beta$ 与 2.5 矛盾! 因此 $\alpha \subset \beta$. 反之再证充分性. 假设 $\alpha \subset \beta$, 则 $\varnothing \ne \beta \setminus \alpha \subseteq \beta$, 从而存在 $x\in \beta \setminus \alpha$ 使得 $x\cap (\beta \setminus \alpha )=\varnothing$. 一方面由序数 $\beta$ 是传递集知 $x\subseteq \beta$, 即 $x=x\cap \beta$, 从而 $x\setminus \alpha =\varnothing$, 即 $x\subseteq \alpha$. 另一方面, 若 $y\in \alpha \setminus x$, 则由 $x\notin \alpha$ 知 $x\ne y\notin x$, 由假设知 $y\in \beta$, 再由 $x\in \beta$ 和序数定义知只能是 $x\in y$, 由 2.8 知 $x$ 和 $y$ 是序数, 则由必要性证明知 $x\subset y$, 由序数 $\alpha$ 是传递集知 $y\subseteq \alpha$, 从而有 $y\cap \alpha \setminus x=y\setminus x\ne \varnothing$, 于是$$(\forall y\in \alpha \setminus x)y\cap \alpha \setminus x\ne \varnothing$$因此由序数定义知 $\alpha \setminus x=\varnothing$, 即 $\alpha \subseteq x$, 于是 $\alpha =x\in \beta$.

$\square$

定理 2.11. 设 $\alpha$ 是一个序数, 则其关于 $\subseteq$ 是一个良序集.

证明. 若 $x,y\in \alpha$ 则由序数定义知 $x\in y$ 或 $x=y$ 或 $y\in x$, 由 2.8 和 2.10 知$$x\subset y或x=y或y\subset x$$若 $\varnothing \ne x\subseteq \alpha$, 则由序数定义知存在 $y\in x$ 使得 $y\cap x=\varnothing$, 由 2.8 和 2.10 知$$(\exists z\in x)z\subset y⟹(\exists z\in x)z\in y$$因此不存在 $z\in x$ 使得 $z\subset y$.

$\square$

引理 2.12. 设 $I\ne \varnothing$ 且 $\{{\alpha }_i\mid i\in I\}$ 是一族序数, 则 ${\bigcap }_{i\in I}{\alpha }_i$ 是序数. 特别地, 两个序数的交是序数.

证明. 由假设知存在 $i\in I$. 若 $x\in {\bigcap }_{i\in I}{\alpha }_i$, 即 $(\forall i\in I)x\in {\alpha }_i$, 则 $(\forall i\in I)x\subseteq {\alpha }_i$, 即 $x\subseteq {\bigcap }_{i\in I}{\alpha }_i$, 因此 ${\bigcap }_{i\in I}{\alpha }_i$ 是传递集. 若 $x,y\in {\bigcap }_{i\in I}$, 则 $x,y\in {\alpha }_i$, 从而$$x\in y或x=y或y\in x$$若 $\varnothing \ne x\subseteq {\bigcap }_{i\in I}{\alpha }_i$, 则 $\varnothing \ne x\subseteq {\alpha }_i$, 从而存在 $y\in x$ 使得 $y\cap x=\varnothing$.

$\square$

推论 2.13. 若 $\alpha$ 和 $\beta$ 是序数, 则 $\alpha \subseteq \beta$ 或 $\beta \subseteq \alpha$. 同理可证任意序数的非空族有最小序数.

证明. 反设 $\alpha \ne \alpha \cap \beta \ne \beta$, 由 2.10 知 $\alpha \cap \beta$ 是序数, 由 2.12 知 $\alpha \cap \beta \in \alpha$ 且 $\alpha \cap \beta \in \beta$, 则 $\alpha \cap \beta \in \alpha \cap \beta$ 与 2.5 矛盾! 因此 $\alpha \cap \beta =\alpha$ 或 $\alpha \cap \beta =\beta$, 即 $\alpha \subseteq \beta$ 或 $\beta \subseteq \alpha$.

$\square$

定义 2.14 (序数序). 设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是序数, 若 $\alpha$ 是 $\beta$ 的真前段, 则记为 $\alpha <\beta$

定理 2.15. 设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是序数, 则 $\alpha \in \beta$ 或 $\alpha =\beta$ 或 $\beta \in \alpha$ 且分别对应下列三种情况之一

(i)	$\alpha <\beta$.
(ii)	$\alpha =\beta$.
(iii)	$\beta <\alpha$.

证明. 由假设和 2.13 知 $\alpha \subset \beta$ 或 $\alpha =\beta$ 或 $\beta \subset \alpha$, 由 2.10 知 $\alpha \in \beta$ 或 $\alpha =\beta$ 或 $\beta \in \alpha$. 不妨设 $\alpha \in \beta$, 由 2.5 知不可能有 $\alpha \in \alpha \in \beta$, 于是 $(\forall x\in \alpha )x\subset \alpha \subset \beta$, 因此若 $y\in \beta$ 且 $y\subset x\in \alpha$, 则由 2.8 知 $y$ 是序数且 $y\subset x\subset \alpha$, 再由 2.10 知 $y\in \alpha$, 于是 $\alpha <\beta$.

$\square$

推论 2.16. 设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是序数, 则 $\alpha \cong \beta ⟺\alpha =\beta$.

证明. 若 $\alpha =\beta$ 则显然 $\alpha \cong \beta$. 反之, 若 $\alpha \cong \beta$, 由假设知 $\alpha <\beta$ 或 $\alpha =\beta$ 或 $\beta <\alpha$, 再由 1.2 知必然有 $\alpha =\beta$.

定理 2.17 (Mirimanoff-von Neumann). 每个良序集 $W$ 同构于唯一一个序数.

证明. 上述推论保证了唯一性. 由超穷递归定理模式知存在唯一 $W$ 上的函数 $f$ 使得$$(\forall x\in W)f(x)=\mathrm{ran}\left(f{|}_{<x}\right)$$注意到 $\mathrm{ran}\left(f{|}_{<x}\right)=\{f(y)\mid y<x\}$, 则易知 $\mathrm{ran}\left(f\right)$ 是传递集且 $f:W\to \mathrm{ran}\left(f\right)$ 是严格保序的, 因此 $f$ 是同构. 由良序范畴是刚性的立得同构的唯一性.

$\square$

注 2.18. 利用超穷递归定理模式可以更简单地处理序数. Mirimanoff-von Neumann 定理虽是 Mostowski collapsing 的特例, 但证明并无本质不同.

注 2.19. 同构于良序集 $W$ 的唯一一个序数有时称为良序集 $W$ 的序型 $\mathrm{Type}(W)$, 而有时称此同构为 Mostowski collapsing 函数.

定义 2.20. 在 MK 中,On 表示唯一序数真类, 其关于 $<$ 是良序集且 $x<y⟺x\in y⟺x\subset y$.

3序数算术

显然 $0=\varnothing$ 是序数.

引理 3.1 (直接后继序数). 每个序数 $\alpha$ 的直接后继序数是 ${\alpha }^{+}=\alpha \cup \{\alpha \}$.

证明. 若 $x\in {\alpha }^{+}$, 则 $x\in \alpha$ 或 $x=\alpha$, 由序数是传递集知总有 $x\subseteq \alpha \subseteq {\alpha }^{+}$, 于是 ${\alpha }^{+}$ 是传递集. 若 $x,y\in {\alpha }^{+}$ 则有下列四种情况

(i)	$x\in \alpha$ 且 $y\in \alpha$.
(ii)	$x=\alpha$ 且 $y\in \alpha$.
(iii)	$x\in \alpha$ 且 $y=\alpha$.
(iv)	$x=\alpha$ 且 $y=\alpha$.

从而总有 $x\in y$ 或 $x=y$ 或 $y\in x$, 于是 ${\alpha }^{+}$ 满足三岐性. 因此 ${\alpha }^{+}$ 是序数. 再由 $\alpha \in {\alpha }^{+}$ 即得 $\alpha <{\alpha }^{+}$. 若 $\alpha <\beta$, 则 $\beta \nleqq \alpha$, 即 $\beta \notin {\alpha }^{+}$, 亦即 ${\alpha }^{+}\le \beta$.

$\square$

引理 3.2 (最小上界序数). 若 $x\subseteq \text{On}$, 则 $\bigcup x$ 是最小上界序数.

证明. 易证传递集的并是传递集. 若 $y,z\in \bigcup x$, 则易知 $y$ 和 $z$ 都是序数, 因此 $x\in y$ 或 $x=y$ 或 $y\in x$. 于是 $\bigcup x$ 是序数. 若 $y\in x$, 则 $y\subseteq \bigcup x$, 因此 $\bigcup x$ 是一个上界序数. 若 $(\forall y\in x)y\subseteq \beta$, 则 $\bigcup x\subseteq \beta$, 因此 $\bigcup x$ 是最小上界序数.

$\square$

引理 3.3. 若 $\alpha$ 是序数则必然是下列三种情况之一

(i)	$\alpha =0$.
(ii)	$(\exists \beta \in \text{On})\alpha ={\beta }^{+}$, 即 $\alpha$ 是后继序数.
(iii)	$\alpha =\bigcup \alpha$, 即 $\alpha$ 是极限序数.

证明. 设序数 $\alpha \ne 0$. 注意 $\alpha$ 有最大元 $\beta \in \alpha$ 当且仅当 ${\beta }^{+}\subseteq \alpha$ 且 $(\forall x\in \alpha )x\le \beta$, 亦即 $\alpha ={\beta }^{+}$. 注意 $\alpha$ 无最大元当且仅当 $(\forall x\in \alpha )(\exists y\in \alpha )x\in y$, 亦即 $\alpha \subseteq \bigcup \alpha$.

$\square$

定义 3.4 (序数和).

(i)	$\alpha +0=\alpha$.
(ii)	$\alpha +\beta =(\alpha +\gamma {)}^{+}$, 若 $\beta ={\gamma }^{+}$ 是后继序数.
(iii)	$\alpha +\beta ={\bigcup }_{\gamma <\beta }(\alpha +\gamma )$, 若 $\beta$ 是极限序数.

定义 3.5 (序数积).

(i)	$\alpha \cdot 0=0$.
(ii)	$\alpha \cdot \beta =\alpha \cdot \gamma +\alpha$, 若 $\beta ={\gamma }^{+}$ 是后继序数.
(iii)	$\alpha \cdot \beta ={\bigcup }_{\gamma <\beta }(\alpha \cdot \gamma )$, 若 $\beta$ 是极限序数.

引理 3.6. $\alpha +\beta =\alpha \cup {\bigcup }_{x<\beta }(\alpha +x{)}^{+}$

证明. 对 $\beta$ 使用超穷归纳法. 若 $\beta =0$ 则命题显然成立. 若 $\beta ={\gamma }^{+}$, 则由归纳假设知$$\begin{array}{rl}& \alpha \cup \bigcup _{x<\beta }(\alpha +x{)}^{+}\\ =& \alpha \cup \bigcup _{x<{\gamma }^{+}}(\alpha +x{)}^{+}\\ =& \alpha \cup \bigcup _{x<\gamma }(\alpha +x{)}^{+}\cup (\alpha +\gamma {)}^{+}\\ =& \alpha \cup \gamma \cup (\alpha +\gamma {)}^{+}\\ =& (\alpha +\gamma {)}^{+}\\ =& \alpha +{\gamma }^{+}\\ =& \alpha +\beta \end{array}$$若 $\beta =\bigcup \beta$ 即 $y<\beta ⟺y^{+}<\beta$, 则由归纳假设知$$\begin{array}{rl}& \alpha +\beta \\ =& \bigcup _{x<\beta }(\alpha +x)\\ =& (\alpha +0)\cup \bigcup _{0\ne x<\beta }(\alpha +x)\\ =& \alpha \cup \bigcup _{y^{+}<\beta }(\alpha +y^{+})\\ =& \alpha \cup \bigcup _{y<\beta }(\alpha +y{)}^{+}\end{array}$$

$\square$

引理 3.7 (remainder lemma). $\alpha +\beta =\alpha \cup \{\alpha +x\mid x<\beta \}$

证明. 由 3.6 易知右边含于左边 $RHS\subseteq LHS$. 由 3.6 注意到$$LHS\subseteq RHS⟺(\forall \gamma <\beta )\alpha +\gamma \subseteq \alpha \cup \{\alpha +x\mid x<\beta \}$$因此知$$LHS\subseteq RHS⟺(\forall \gamma <\beta )\alpha \cup \bigcup _{x<\gamma }(\alpha +x{)}^{+}\subseteq \alpha \cup \{\alpha +x\mid x<\beta \}$$对 $\beta$ 使用超穷归纳法. 由归纳假设 $(\forall \gamma <\beta )\alpha +\gamma \subseteq \alpha \cup \{\alpha +x\mid x<\gamma \}$ 知$$(\forall \gamma <\beta )\alpha +\gamma \subseteq \alpha \cup \{\alpha +x\mid x<\gamma \}\subseteq \alpha \cup \{\alpha +x\mid x<\beta \}$$因此 $LHS\subseteq RHS$.

$\square$

序数算术的一些性质

定义 3.8. $1=0^{+}$

命题 3.9. $\alpha +1={\alpha }^{+}$

证明. 由定义 $\alpha +1=\alpha +0^{+}=(\alpha +0{)}^{+}={\alpha }^{+}$

$\square$

命题 3.10. $0+\alpha =\alpha$

证明. 对 $\alpha$ 使用超穷归纳法. 由 3.7 知 $0+\alpha =0\cup \{0+x\mid x<\alpha \}=\{x\mid x\in \alpha \}=\alpha$

$\square$

定义 3.11. 序数 $\alpha$ 被序数 $\beta$ 吸收指 $\alpha +\beta =\beta$.

吸收现象在序数算术中较为常见. 例如 $n+\omega =\omega$, 从而 $1+\omega =\omega \ne {\omega }^{+}=\omega +1$ 说明序数加法不满足交换律.

注意 $\alpha <\beta ⟹\alpha +\gamma <\beta +\gamma$ 一般不成立, 例如 $0<1$ 但 $0+\omega =\omega =1+\omega$.

证明.

$\square$

证明.

$\square$

证明.

$\square$

证明.

$\square$

证明.

$\square$

4相关词条

一阶语言

良基公理

5参考文献

•	J. Lee (2012). Introduction to Smooth Manifolds, 2ed. Graduate Texts in Mathematics 218. Springer.

•	Jean-Louis Verdier (1996). Des catégories dérivées des catégories abéliennes, 1ed. Astérisque 239. Société Mathématique de France. (zbMATH)

•	李文威 (2023). 代数学方法: 线性代数. (pdf)

•	John L. Kelley (1955). General Topology, 1ed. Graduate Texts in Mathematics 27. Springer.

•	Alonzo Church (1940). “A Formulation of the Simple Theory of Types”. The Journal of Symbolic Logic 5 (2), 56–68. (web)

•	Leon Henkin (1960). “On mathematical induction”. American Mathematical Monthly 67 (4), 323–338. (web)

•	香蕉空间: 良基公理

术语翻译

序数 • 英文 ordinal

脚注

1.	Kelley 称为全的 (full) 因为传递集系 Zermelo 旧称且易与传递关系混淆.