用户: 上埜久/集合论初步/Cantor的η定理

1Cantor 的 η 型集定理

定理 1.1 (Cantor 的 η 型集定理). 可数无穷无边界元稠密全序集 $M$ 与 $\mathbb{Q}$ 同构.

证明. 由假设知存在双射 $M\to \mathbb{N}$ 因此将自然数上的良序搬到 $M$ 上得到良序集 $M_0$. 设 $g(r_1)=m_1$, 由假设可递归定义如下: 若 $r_2<r_1$ 则令 $g(r_2)={\min }_{M_0}\{y\in M\mid y<m_1\}$, 若 $r_1<r_2$ 则令 $g(r_2)={\min }_{M_0}\{y\in M\mid m_1<y\}$, etc. 只需证 $g$ 是满射.

$\square$