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这一节我们将开始 Loeb 测度的构造, Loeb 测度是 Peter Loeb 构造的在非标准空间上的测度.

1Loeb 测度的构造

假定我们已经有了一个内集 $\Omega$, $\mathcal{A}$ 是其子集上的一个内代数, 假设 $\mu$ 是一个 $\mathcal{A}$ 上的一个有限可加有限内测度, 即一个内映射$$\mu :\mathcal{A}{\to }^{\ast }[0,+\infty )$$满足有限可加性质, 并且 $\mu (\Omega )$ 是有限的.

于是我们自然就可以定义一个映射 ${}^{\circ }\mu :[0,+\infty )$, 满足 ${}^{\circ }\mu (A)=\circ (\mu (A))$, 很容易知道这个是一个有限可加的测度, 我们就创造出来一个空间 $(\Omega ,\mathcal{A}{,}^{\circ }\mu )$, 这是一个标准的有限可加测度空间.

我们想要把它搞成可数可加的, 这本来可能不太简单, 可以想象, 可数个无穷小的和可能不是无穷小, 可数长度的句子很可能传不过去, 而且可数个内集的并不一定是内集.

我们先来看一个引理:

引理 1.1 (${\aleph }_1$ 饱和性质). 在非标准塔 $V^{\mathbb{N}}/\mathcal{U}$ 中, 对于任何非空内集的可数降链有非空的交.

证明. 在我们常用的非标准模型 (共点模型) 中, 可以直接采用共点原理进行证明. 因为定义在 {所有元素}$\times$ {这一列集合链} 上的 $\in$ 关系是一个 (对集合) 共点的关系, 从而有一个在所有它们之中的元素.

而针对这个弱一些的模型来说, 假设每个非标准集合 $X_m=(X_{m,n}{)}_{n\in \mathbb{Z}}$. 并且我们可以要求 $X_{m+1,n}\in X_{m,n}$ 是总成立的. 使用对角线法则构造一个元素 $x=(x_m{)}_{m\in \mathbb{Z}},x_m\in X_{m,m}$, 即满足条件.

$\square$

下面有一个关键的定理.

定理 1.2. ${}^{\circ }\mu$ 可以唯一延拓成 $\sigma (\mathcal{A})$($\mathcal{A}$ 是生成的 $\sigma$ 代数) 上的一个可数可加的测度.

这个测度的完备化被称作 $\mu$ 所对应的 Loeb 测度, 而这个 $\sigma$ 代数的完备化, 则被称作 Loeb $\sigma$-代数, 记作 $L(\mathcal{A})$.

证明. 我们想要使用 Carathéodory 测度扩张定理, 只需要证明在 $\mathcal{A}$ 上 ${}^{\circ }\mu$ 对可数并封闭的集列有可数可加性. 根据 ${\aleph }_1$-饱和性质, 我们知道如果有$$A=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n\in \mathcal{A}$$那么, 对于 $A\backslash {\cup }_{n=1}^m{A}_n$ 使用饱和性质, 可以知道到了某个后面全都是空集. 根据有限可加性, 我们可知满足定理条件, Carathéodory 定理能够给出结论.

$\square$

定义 1.3 (Loeb 零测集). 对于 $B\subseteq \Omega$(未必是内集), 我们称 B 是 Loeb 零测的, 如果对于任何实数 $ϵ>0$, 有一个 $A$, $B\subset A$ 且 $\mu (A)<ϵ$.

引理 1.4 (一个关键引理). $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ 是一列上升集合列, 对于每个 $B={\bigcup }_{n\in \mathbb{N}}{A}_n$, 我们就可以找到一个 $A\in \mathcal{A}$, 满足:

1.	$B\subseteq A$;
2.	${}^{\circ }\mu (A)={\lim }_{n\to \infty }{}^{\circ }\mu (A_n)$;
3.	$A\backslash B$ 是零测的.

证明. 在证明中, 我们也会使用非标准分析的方法. $\alpha ={\lim }_{n\to \infty }{}^{\circ }\mu (A_n)$. 对于任何有限的 $n$, 我们都会有$$\mu (A_n)\le {}^{\circ }\mu (A_n)+\frac{1}{n}\le \alpha +\frac{1}{n}.$$从而我们可以无穷延拓, 会有某个无穷的 $\nu$, $$\mu (A_{\nu })\le \alpha +\frac{1}{\nu }.$$我们直接取这个 $A_{\nu }$ 作为 A 就可以满足前两条.

第三条根据 ${}^{\circ }\mu (A\backslash A_n)={}^{\circ }\mu (A)-{}^{\circ }\mu (A_n)\to 0$, 也是容易的.

$\square$

于是我们意识到 $\mathcal{A}$ 差不多是一个 $\sigma$ 代数,

定义 1.5.

1.	我们称一个集合是 Loeb 可测的, 如果它和某个 $\mathcal{A}$ 中的集合的对称差是零测的.
2.	所有的 Loeb 可测集合记为 $L(\mathcal{A})$. (只需要验证这是一个 $\sigma$-代数).
3.	我们可以对所有 Loeb 可测集定义 ${\mu }_L(B)={}^{\circ }\mu (A)$, 并称 ${\mu }_L(B)$ 是一个 B 上的 Loeb 测度.