Universal Bundles. Classifying Spaces

$\mathcal{B}(B,G)$ 表示 $B$ 上的可数平凡化 (即 $B$ 可以被可数个平凡化开集覆盖) 的 $G$-主丛的同构类的集合. 连续映射 $f:B\to C$ 通过拉回可以得到映射 $\mathcal{B}(f)=f^{\ast }:\mathcal{B}(C,G)\to \mathcal{B}(B,G)$. 这样有同伦不变的反变函子 $\mathcal{B}(-,G):\mathbf{hTOP}\to \mathbf{SET}$.

定理 1. $\mathcal{B}(-,G)$ 是可表函子, 即存在一个 $G$ 主丛 $p_G:\mathrm{E}G\to \mathrm{B}G$ 使得 $\mathcal{B}(-,G)\cong [-,\mathrm{B}G]$.

$\mathrm{B}G$ 称为分类空间.

例 2. 对于离散群, $\mathrm{B}G$ 是 Eilenberg-Mac Lane 空间 $K(G,1)$. 同时 $\mathrm{B}{S}^1=\mathrm{B}U(1)=\mathbb{C}{P}^{\infty }$.

定理 3. 一个可数平凡的 $G$-主丛 $q:E\to B$ 是万有元素当且仅当 $E$ 是可缩的.