层上同调和谱序列

1层的单纯松弛分解

设 $X$ 为拓扑空间而 $\mathcal{A}$ 是 $X$ 上的 Abel 群的层.

定义 1.1. $\mathcal{A}$ 的一个 (上同调) 分解是一个复形 $({\mathcal{L}}^{\bullet },d)$ 使得 $q<0$ 时 ${\mathcal{L}}^q=0,d^q=0$ 以及存在如下正合序列: $$0\mathcal{A}{\mathcal{L}}^0{\mathcal{L}}^1\cdots j{d}^0{d}^1$$

若 $\phi :\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 是层态射而 $({\mathcal{M}}^{\bullet },d)$ 是 $\mathcal{B}$ 的分解, 那么一个分解之间的态射 ${\phi }^{\bullet }:{\mathcal{L}}^{\bullet }\to {\mathcal{M}}^{\bullet }$ 由一组层态射 ${\phi }^q:{\mathcal{L}}^q\to {\mathcal{M}}^q$ 构成且满足如下交换图: $$0\mathcal{A}{\mathcal{L}}^0{\mathcal{L}}^1\cdots {\mathcal{L}}^q{\mathcal{L}}^{q+1}\cdots 0\mathcal{B}{\mathcal{M}}^0{\mathcal{M}}^1\cdots {\mathcal{M}}^q{\mathcal{M}}^{q+1}\cdots j\phi d^0{\phi }^0{\phi }^1{d}^q{\phi }^q{\phi }^{q+1}j{d}^0{d}^q$$

定义 1.2. 一个层 $\mathcal{F}$ 称为松弛的若对于每个开集 $U\subset X$, 限制映射 $\mathcal{F}(X)\to \mathcal{F}(U)$ 是满射, 即如果每个 $\mathcal{F}$ 在 $U$ 上的截面可以延伸至 $X$.

不难验证$$U\mapsto \prod _{x\in U}{\mathcal{A}}_x,U是X的开子集$$构成了 $X$ 上的 Abel 群的层, 且这个层是松弛的, 记为 ${\mathcal{A}}^{[0]}$. 同时我们有标准单射:$$j:\mathcal{A}\to {\mathcal{A}}^{[0]}$$这里只需要把 $\mathcal{A}$ 看作其平展空间 [Godement 1958, II, 1.2 节] 的截面层即可. ${\mathcal{A}}^{[0]}$ 称为 $\mathcal{A}$ 的典范松弛层.

递归定义 ${\mathcal{A}}^{[q]}=({\mathcal{A}}^{[q-1]}{)}^{[0]}$.

$f\in {\mathcal{A}}_x^{[q]}$ 表示映射的等价类 $f:X\to {\mathcal{A}}^{[q-1]}$ 使得 $f(x_0)\in {\mathcal{A}}_{x_0}^{[q-1]}$, 两个映射等价的条件是有一 $x$ 的邻域 $V$ 使得对任意 $x_0\in V$ 这两个映射结果相等. 同样, $f(x_0)$ 表示映射 $X\to {\mathcal{A}}^{[q-2]}$ 的等价类, 等价关系是: 有 $x_0$ 的邻域 $V(x_0)$, 使得对于任意 $x_1\in V(x_0)$ 两个映射相等. 这样 $f$ 表示等价类 $X^2\to {\mathcal{A}}^{[q-2]}$, 遵循等价关系: 对任意 $x_0\in V$ 存在邻域 $V(x_0)$ 使得对任意 $x_1\in V(x_0)$, 两个映射结果相同即 $f(x_0,x_1)=g(x_0,x_1)\in {\mathcal{A}}_{x_1}^{[q-2]}$. 以此类推, $f\in {\mathcal{A}}_x^{[q]}$ 表示映射 $f:X^{q+1}\to \mathcal{A},f(x_0,\dots ,x_q)\in {\mathcal{A}}_{x_q}$ 的等价类, 等价关系是存在如下一系列邻域:$$x_0\in V,x_1\in V(x_0),\dots ,x_q\in V(x_0,\dots ,x_{q-1})$$这里 $V$ 是 $x$ 的邻域, $V(x_0,\dots ,x_j)$ 是 $x_j$ 的邻域并且依赖 $x_0,\dots ,x_j$, 即根据 $x$ 找邻域 $V$, 对其中任意 $x_0$ 找邻域 $V(x_0)$, 以此类推, 当对任意这些 $x_0,\dots ,x_q$ 有 $f(x_0,\dots ,x_q)=g(x_0,\dots ,x_q)$ 则认为 $f$ 和 $g$ 等价.

类似, $f\in {\mathcal{A}}^{[q]}(U)$ 表示映射 $X^{q+1}\ni (x_0,\dots ,x_q)\mapsto f(x_0,\dots ,x_q)\in {\mathcal{A}}_{x_q}$ 的等价类, 满足等价关系: 存在如下邻域$$x_0\in U,x_1\in V(x_0),\dots ,x_q\in V(x_0,\dots ,x_{q-1})$$使得两个映射对于这样的自变量相等. 一般再假设 $V(x_0,\dots ,x_{q-1})\subset \cdots \subset V(x_0)\subset U$.

2参考文献

•	R. Godement (1958). Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Actualités scientifiques et industrielles vol. 1. Hermann.

术语翻译

松弛 • 英文 flabby • 法文 flasque

平展空间 • 英文 étale space • 法文 espace étale