FOUNDATIONS OF DIFFERENTIAL GEOMETRY

1Differentiable Manifolds

Fibre bundles

在 p54 中, 定义$$(x,a,\xi )\mapsto (x,a\xi )$$这样在 $G$ 作用下保持不变, 且可验证这个映射的等价关系就是 $G$ 定义的等价关系. 这样有同构 ${\pi }_E^{-1}(U)\cong U\times F$. 特别地, $u:F_x\cong F$.

PROPOSITION 5.4 显然.

2Theory of Connections

Holonomy groups

关于基点 $x\in M$ 的和乐群的定义类似于从基本群到万有覆盖的变换群的同构, 但不是同伦不变?

$C^0(x)$ 可以连续收缩成一点.

$G$ 是自由作用故 $\Phi (x)\to \Phi (u)$ 是单射. $\Phi (u)$ 的定义说明了这个是满射. 实际上$$\Phi (u)=\{a\in G\mid \exists \tau \in C(x)\text{s.t}ua=\tau (u)\}$$对于另外一种描述, 当 $a,b\in \Phi (u)$ 时, 有 $u\sim ua$ 进而有 $u{b}^{-1}\sim ua{b}^{-1}$. 同时 $u\sim ub$ 推得 $u{b}^{-1}\sim u$ 故 $u\sim ua{b}^{-1}$ 即 $a{b}^{-1}\in \Phi (u)$. 这时 ${\Phi }^0(u)$ 就是 $a\in G$ 使得 $u,ua$ 可以被 $C^0(x)$ 中曲线的水平提升所连接.

命题 2.1.

•	If $v=ua,a\in G$, then $\Phi (v)=a^{-1}\Phi (u)a$. Similarly, ${\Phi }^0(v)=a^{-1}{\Phi }^0(u)a$
•	If two points $u$ and $v$ can be joined by a horizontal curve, then $\Phi (u)=\Phi (v)$ and ${\Phi }^0(u)={\Phi }^0(v)$.

证明. 在 (b) 中, $u,v$ 之间不需要被 $C^0(x)$ 的水平提升所连接.

同时有$$\begin{array}{rl}{R}_b{\mu }^{\ast }& :ub\sim vb\\ {\tau }^{\ast }& :u\sim ub\\ {\tau }^{\ast -1}& :v\sim u\end{array}$$它的投影是 $\mu \cdot \tau \cdot {\mu }^{-1}$, 若 $\tau$ 的同伦类是 $1$, 则显然前者的同伦类也是 $1$.

$\square$

若 $M$ 连通, 自然是道路连通, 则只需要通过从 $\pi (v)$ 到 $\pi (u)$ 的连线的 $v$ 的平行移动就得到和 $u$ 同一个纤维的点, 他们差一个 $G$ 中的元素.

定理 2.2. Let $P(M,G)$ be a principal fibre bundle whose base manifold $M$ is connected and paracompact. Let $\Phi (u)$ and ${\Phi }^0(u)$, $u\in P$, be the holonomy group and the restricted holomony group of a connection $\Gamma$ with reference point $u$. Then

•	${\Phi }^0(u)$ is a connected Lie subgroup of $G$;
•	${\Phi }^0(u)$ is a normal subgroup of $\Phi (u)$ and $\Phi (u)/{\Phi }^0(u)$ is countable.

Reduction theorem

p87 Remark 里, 若 $(u,\xi )$ 被替换为 $(ua,a^{-1}\xi )$, 则$$(Q_{ua})(a^{-1}\xi )=(R_a(Q_u))(a^{-1}\xi )=(Q_u)\xi$$故 $Q_w$ 关于 $(u,\xi )$ 良定义.