Topologie Générale

1STRUCTURES TOPOLOGIQUES

APPLICATIONS OUVERTES ET APPLICATIONS FERMÉES

Applications ouvertes et applications fermées

命题 1.1. Soient $X,Y$ deux espaces topologiques, $f$ une application de $X$ dans $Y$. Pour toute partie $T$ de $Y$, désignons par $f_T$ l’application de $f^{-1}(T)$ dans $T$ qui coïncide avec $f$ dans $f^{-1}(T)$.

1.	Si $f$ est ouverte (resp. fermée), $f_T$ est ouverte (resp. fermée).
2.	Soit $(T(\iota ){)}_{\iota \in I}$ une famille de parties de $Y$ dont les intérieurs forment un recouvrement de $Y$, ou qui est un recouvrement fermée localement fini de $Y$; si toutes les $f_{T(\iota )}$ sont ouvertes (resp. fermées), alors $f$ est ouvertes (resp. fermées).

证明.

证明. 略.

$\square$

Propriétés spéciales aux applications fermées

命题 1.2. Soient $X,X^{\prime }$ deux espaces topologiques. Pour qu’une application $f:X\to X^{\prime }$ soit continue et fermée, il faut et il suffit que $f(\overline{A})=\overline{f(A)}$ pour toute partie $A$ de $X$.

证明.

证明. 略.

$\square$

FILTRES

Filtre induit

例 1.3. Soient $X$ un espace topologique, $A$ une partie de $X$; pour que la trace sur $A$ du filtre des voisinages de $x$ soit un filtre sur $A$, il faut et il suffit que tout voisinage de $x$ rencontre $A$, autrement dit que $x$ soit adhérent à $A$.

Ce qui fait l’intérêt de cet exemple de filtre induit, c’est d’une part qu’il joue un rôle important dans la théorie des limites, et d’autre part que tout filtre peut être défini de cette manière. En effet, soit $\mathfrak{F}$ un filtre sur un ensemble $X$; soit $X^{\prime }$ l’ensemble obtenu en adjoignant à $X$ un nouvel élément $\omega$, $X$ étant identifié au complémentaire de $\omega$ dans $X^{\prime }$; soit ${\mathfrak{F}}^{\prime }$ le filtre sur $X^{\prime }$ formé des ensembles $M\cup \{\omega \}$ où $M$ parcourt $\mathfrak{F}$. Pour tout point $x\ne \omega$ de $X^{\prime }$, soit $\mathfrak{B}(x)$ l’ensemble des parties de $X^{\prime }$ contenant $x$; posons d’autre part $\mathfrak{B}(\omega )={\mathfrak{F}}^{\prime }$; les $\mathfrak{B}(x)$, pour $x\in X^{\prime }$ satisfont visiblement aux axiomes (V_I), (V_II), (V_III), et (V_IV), donc définissent à $X$ pour cette topologie et $\mathfrak{F}$ est induit par ${\mathfrak{F}}^{\prime }=\mathfrak{B}(\omega )$. La topologie ainsi définie sur $X^{\prime }$ (resp. l’ensemble $X^{\prime }$ muni de cette topologie) s’appelle topologie associée (resp. espace topologique associé) à $\mathfrak{F}$.

注意这里 $\mathfrak{B}(\omega )$ 满足 (V_IV) 很显然. 而对于 $\mathfrak{B}(x),x\ne \omega$, 只需要选一个不包含 $\omega$ 的在给定邻域中的集合即满足要求.

APPLICATIONS PROPRES

Applications propres

定义 1.4. Soit $f$ une application d’un espace topologique $X$ dans un espace topologique $Y$. On dit que $f$ est propre si $f$ est continue et si, pour tout espace topologique $Z$, l’application $f\times {\mathrm{Id}}_Z:X\times Z\to Y\times Z$ est fermée.

命题 1.5. Soit $f:X\to Y$ une application continue injective. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes:

1.	$f$ est propre.
2.	$f$ est fermée.
3.	$f$ est un homéomorphisme de $X$ sur une partie fermée de $Y$.

证明.

证明. 略.

$\square$

命题 1.6. Soit $f:X\to Y$ une application continue; pour toute partie $T$ de $Y$, désignons par $f_T$ l’application de $f^{-1}(T)$ dans $T$ qui coïncide avec $f$ dans $f^{-1}(T)$.

•	Si $f$ est propre, $f_T$ est propre.
•	Soit $(T(\iota ){)}_{\iota \in I}$ une famille de parties de $Y$ dont les intérieurs forment un recouvrement de $Y$, ou qui est un recouvrement fermée localement fini de $Y$; si toutes les $f_{T(\iota )}$ sont propres, alors $f$ est propre.

也就是说紧合性质与开覆盖或者局部有限闭覆盖中每个成员的紧合性质一致.

证明.

证明. I, p31, prop2: Proposition 1.1.

$\square$

Caractérisation des applications propres par des propriétés de compacité

Dans ce numéro, nous désignerons par $P$ un espace réduit à un point, et muni de son unique topologie.

引理 1.7. Soit $X$ un espace topologique tel que l’application constante $X\to P$ soit propre. Alors $X$ est quasi-compact.

证明.

证明. 略.

$\square$

定理 1.8. Soif $f:X\to Y$ une application continue. Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes:

1.	$f$ est propre.
2.	$f$ est fermée, et pour tout $y\in Y$, $f^{-1}(y)$ est quasi-compact.
3.	Si $\mathfrak{F}$ est un filtre sur $X$ et si $y\in Y$ est adhérent à $f(\mathfrak{F})$, il existe un point $x\in X$ adhérent à $\mathfrak{F}$ et tel que $f(x)=y$.
4.	Si $\mathfrak{U}$ est un ultrafiltre sur $X$, et si $y\in Y$ est un point limite de la base d’ultrafiltre $f(\mathfrak{U})$, il existe un point limite de $x$ de $\mathfrak{U}$ tel que $f(x)=y$.

证明.

证明. I, p.72, prop. 3: 命题 1.6;

I, p.35, prop. 9: 命题 1.2;

(1) 推 (2), (2) 推 (3), (3) 推 (4) 略.

(4) 推 $f$ 闭: $A\subset {\bigcap }_{U\in \mathfrak{F}}\overline{U}$, 而 $A$ 自身也属于 $\mathfrak{F}$ 且其是闭集, 故 $A={\bigcap }_{U\in \mathfrak{F}}\overline{U}$. 与此同时$$f(A)\subset \bigcap _{U\in \mathfrak{F}}f(\overline{U})\subset \bigcap _{U\in \mathfrak{F}}\overline{f(U)}=B$$

(4) 推 (1) 与 Lemma 2: 略.

$\square$

推论 1.9. Pour qu’un espace topologique $X$ soit quasi-compact, il faut et il suffit que l’application $X\to P$ soit propre.

推论 1.10. Toute application $f$ d’un espace quasi-compact $X$ dans un espace séparé $Y$ est propre.

推论 1.11. Si $(f_{\iota })$ est une famille d’applications propres, l’application produit $(x_{\iota })\mapsto (f_{\iota }(x_{\iota }))$ est propre.

Espaces quotients des espaces compacts et des espaces localement

命题 1.12. Soient $X$ un espace compact, $R$ une relation d’équivalence dans $X$, $C$ son graphe dans $X\times X$, $f$ l’application $X\to X/R$. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1.	$C$ est fermé dans $X\times X$.
2.	$R$ est fermée.
3.	$f$ est propre.
4.	$X/R$ est séparé.

En outre, lorsque ces conditions sont vérifiées, $X/R$ est compact.

命题 1.13. Soient $X$ un espace localement compact, $R$ une relation d’équivalence dans $X$, $C$ son graphe dans $X\times X$, $f$ l’application $X\to X/R$; soit $X^{\prime }$ l’espace compact obtenu en adjoignant à $X$ un point à l’infini $\omega$, et soit $R^{\prime }$ la relation d’équivalence dans $X^{\prime }$, de graphe $C^{\prime }=C\cup \{(\omega ,\omega )\}$ Les conditions suivantes sont équivalentes:

1.	$f$ est propre.
2.	Le saturé pour $R$ de toute partie compacte de $X$ est un ensemble compact.
3.	$R^{\prime }$ est fermée.
4.	La restriction à $C$ de ${\mathrm{pr}}_2$ est propre.
5.	$R$ est fermée et les classes suivant $R$ sont compactes.

En outre, lorsque ces conditions sont remplies, $X/R$ est localement compact.

推论 1.14. Soient $X$ un espace séparé, $Y$ un espace topoogique, $f:X\to Y$ une application propre. Pour que $X$ soit compact (resp. localement compact), il faut et il suffit que $f(X)$ soit compact (resp. localemenet compact), et il suffit que $Y$ soit compact (resp. localement compact).

2GROUPES TOPOLOGIQUES

GROUPES OPÉRANT PROPREMENT DANS UN ESPACE TOPOLOGIQUE. COMPACITÉ DANS LES GROUPES TOPOLOGIQUES ET LES ESPACES À OPÉRATEURS

Groupes opérant proprement dans un espace topologique

定义 2.1. Soit $G$ un groupe topologique opérant continûment dans un espace topologique $E$. On dit que $G$ opère proprement dans $E$ si l’application $\theta :(s,x)\mapsto (x,s\cdot x)$ de $G\times E$ dans $E\times E$ est propre (1.4).

Groupes opérant librement dans un espace topologique

Soient $G$ un groupe opérant librement dans un ensemble $E$, $R$ la relation d’équivalence dans $E$ définie par $G$, $C\subset E\times E$ le graphe de $R$. Si $(x,y)\in C$, il existe un $s\in G$ tel que $s\cdot x=y$; de plus cet élément est unique, car si $s\cdot x=s^{\prime }\cdot y$, on a $s^{\prime -1}s\cdot x=x$, d’où $s^{\prime -1}s=e$, puisque $G$ opère librement. On définit une application $\phi :(x,s\cdot x)\mapsto s$ de $C$ dans $G$, que nous appellerons l’application canonique. Avec ces notations:

命题 2.2. Soit $G$ un groupe topologique opérant continûment librement dans un espace topologique $E$. Alors, pour que $G$ opère proprement, il faut et il suffit que l’on ait:

FP	Le graphe $C$ de la relation d’équivalence définie par $G$ est fermé dans $E\times E$, et l’application canonique $\phi :C\to G$ est continue.

证明.

证明. I, p.72, prop.2: Proposition 1.5

$\square$

Groupes opérant continûment dans un espace localement compact

命题 2.3. Soit $G$ un groupe topologique séparé opérant proprement dans un espace non vide $E$. Si $E$ est compact (resp. localement compact), il en est de même de $G$ et de $E/G$.

Pour tout couple de parties $K,L$ de $E$, nous noterons $P(K,L)$ l’ensemble des $s\in G$ tels que $s\cdot K\cap L\ne \varnothing$.

定理 2.4. Soit $G$ un groupe topologique séparé, opérant continûment dans un espace topologique $E$. Soient $K$ une partie compacte de $E$, $L$ une partie fermée de $E$. Alors:

1.	L’ensemble $P(K,L)$ est fermé dans $G$.
2.	Si $G$ opère proprement dans $E$, et si $L$ est compact, $P(K,L)$ est compact.
3.	Réciproquement, si $E$ est localement compact, et si, pour tout couple de parties compactes $K,L$ de $E$, $P(K,L)$ est relativement compact dans $G$ (donc compact), alors $G$ opère proprement dans $E$ (et si $E$ est non vide, $G$ est localement compact d’après la Prop.2.3)