GTM 102 - Lie Groups, Lie Algebras and Their Representations

1Lie Groups and Lie Algebras

Closed Lie Subgroups and Homogeneous Spaces. Orbits and Spaces of Orbits

设 $G$ 自由作用在 $M$ 上, $X=M/G$ $\gamma (x,g)=(x,g\cdot x)$, $\Gamma =\gamma (M\times G)=\{(x,g\cdot x)\mid x\in M,g\in G\}$ $\Gamma$ 实际上是等价关系的图.

引理 1.1. The quotient topology on $X$ is Hausdorff if and only if $\Gamma$ is closed in $M\times M$. In this case all the orbits in $M$ are closed regular submanifolds of $M$.

证明.

证明. 这个引理实际上就是 [BourTG, I.55, Prop.8], 因为这个等价关系是开的.

$\square$

定理 1.2. Let $G$ act freely on $M$. Then the following are equivalent:

1.	$\Gamma$ is closed in $M\times M$, and $\gamma$ is a homeomorphism of $M\times G$ onto $\Gamma$.
2.	$\Gamma$ is closed in $M\times M$; moreover, given any $x\in M$ we can find a regular submanifold $N$ of $M$ passing through $x$ such that (a) $T_x(M)$ is the direct sum of $T_x(N)$ and $T_x(G\cdot x)$, and (b) $\pi :M\to X$ is one-to-one on $N$.
3.	There exists an analytic structure on $X$ such that $\pi$ is an analytic submersion.

由 [BourTG, III.31, Prop.6] 知道这个条件实际上就是 $G$ 紧合作用在 $M$ 上.

证明.

证明. (1) 推 (2) 中:

由引理 1.1 和常秩定理, 可以在 $x$ 附近选择一个坐标系, 使得 $G\cdot x$ 是前 $\dim G\cdot x=\dim G$ 个坐标的切片, 这样选择 $N_1$ 为剩下的坐标的切片即可.

$(d\Psi {)}_{(1,x)}$ 把 $T_1(G)\subset T_{(1,x)}(G\times N_1)$ 满射到 $T_x(G\cdot x)$ 中; 把 $T_x(N)\subset T_{(1,x)}(G\times N_1)$ 满射到 $T_x(N_1)$ 中, 而 $T_{(1,x)}(G\times N_1)=T_1(G)\oplus T_x(N_1)$, $T_x(M)=T_x(G\cdot x)\oplus T_x(N_1)$ 所以 $(d\Psi {)}_{(1,x)}$ 是满射, 进而是单射.

$X$ 是第二可数的, 故若在 $x$ 的任意 $N_2$ 中的邻域里 $\pi$ 都不是单射, 则可以选一个 $N_2$ 中的 $x$ 的可数局部基 (邻域的基本系统), $\{V_n\}$, 且满足 $V_n\supset V_{n+1}$. 这样在每个 $V_n$ 中, 由于 $\pi$ 不是单射, 故存在两个不同的 $y_n,y_n^{\prime }\in V_n$ 使得 $\pi (y_n)=\pi (y_n^{\prime })$ 这样有 $g_n\in G$ 使得 $y_n^{\prime }=g_n\cdot y_n$. 同时 $y_n,y_n^{\prime }$ 都收敛到 $x$. $\gamma$ 是同胚则标准映射 $t:\Gamma \to G,(x,g\cdot x)\mapsto g$ 是连续的 (见 [BourTG, III.31, Prop.6] 的证明). 则 $g_n=t(y_n,y_n^{\prime })\to t(x,x)=1$.

(2) 推 (3) 中:

$X$ 的拓扑是 Hausdorff 和第二可数, $(d\Psi {)}_{(1,x)}$ 是双射均与之前的推理相同.

当在 $G\times N$ 上有 $\Psi (g_1,y_1)=g_1\cdot y_1=\Psi (g_2,y_2)=g_2\cdot y_2$ 时, $\pi (g_1\cdot y_1)=\pi (y_1)=\pi (g_2\cdot y_2)=\pi (y_2)$, 故 $y_1=y_2$ 进而有 $G$ 的自由作用可得 $g_1=g_2$.

笔误: $\pi (Z)=\pi (G\cdot Z)$ is open in $X$(而不是 $M$).

$f\circ \pi \circ \Psi$ 只和第二个变量有关, 故任取第一个变量, 比如 $1$, 则它就是 $f\circ \pi$.

(3) 推 (1) 中: 实际上设 $y_n=g_n\cdot x_n$, 则 $g_n=t(x_n,y_n)$, $g=t(x,y)$. $\gamma$ 同胚当且仅当 $t$ 连续. 由于光滑流形可度量 [BourTG, IX.21, Corollaire], 故只需要考虑序列的情况 [BourTG, IX.17, Prop.10].

当 $\pi$ 是浸没时, 由常秩定理, 存在 $x$ 的开邻域 $V$ 和相应的坐标系, 使得在这个坐标系下 $\pi$ 是 $(w_1,\dots ,w_m)\mapsto (w_1,\dots ,w_n)$, $w_i$ 也表示坐标函数. 则取 $N$ 为$$\{a\in V\mid w_i(a)=w_i(x),i=n+1,\dots ,m\}$$不难验证$$V\cap G\cdot x=\{a\in V\mid w_i(a)=w_i(x),i=1,\dots ,n\}$$这样就满足条件 (a) 和 (b) 了.

$\square$

推论 1.3. Let $G$ be a compact Lie group acting freely and analytically on $M$. Then $M/G$ admits a unique analytic structure structure for which $\pi$ is a submersion.

证明.

证明. 实际上, 由 [BourTG, III.33, Th.1], 紧 Haudsorff 群连续作用在局部紧空间上时, 这个作用是紧和的.

$\square$

推论 1.4. Let $G$ be a discrete group acting freely and analytically on $M$, and let $\Gamma$ be closed in $M\times M$. Then, in order that $X=M/G$ admit an analytic structure such that $\pi$ is a submersion, it is necessary and sufficient that the following condition be satisfied: for each $x\in M$ we can find an open subset $U$ of $M$ containing $x$ such that $(g\cdot U)\cap U=\varnothing$ for any $g\ne 1$ in $G$.

证明.

证明. 实际上由 [DieckAT, Proposition 14.1.12] 可得这个条件与弱紧和 (weakly proper) 等价, 再加上 $\Gamma$ 是闭集, 就与紧和等价了.

$\square$

[BourTG]	N.Bourbaki: Topologie Générale.
[DieckAT]	T.T.Dieck: Algebraic Topology