用户: 水晶球/讨论班群2021年度几何与拓扑问题整理/几何方向问题/已解决

问题 0.1 (并非问题而是现象). 平坦环面无法 $C^{2}$ 嵌入 $R^{3}$ , 但可以 $C^{1}$ 嵌入 $R^{3}$ .

证明. 无法

C^{2}

是微分几何标准习题, 可以

C^{1}

来源于 Nash embedding theorem.

$□$

问题 0.2. $R^{3}$ 中一个正则闭曲面, 若它上某一点出发的测地线全是半径为 $r$ 的圆, 那么其一定是球.

证明. 两个闭测地线的交点一定交在它们中点, 那个中点是唯一的 conjugate point, 所以是球.

不交在中点的话, 其中一条沿着另一条的切方向的变分局部上不等于 0.

$□$

问题 0.3. 高维紧平坦可定向流形的刻画.

证明. 某个定理告诉你其一定是

T^{n}

商掉一个有限群.

$□$

问题 0.4. $T^{3}$ 里代表 $T^{2}$ 对应同调类的曲面的平均曲率不可能恒正.

证明. 通过查找文献, 得知

R^{3}

中有正下界平均曲率的流形一定是紧的.

$□$

问题 0.5. 记 $Q$ 是 $M$ 上所有梯度不超过 1 的光滑函数的集合, 求证对任意两点 $p, q$ 有: $d (p, q) = f \in Q sup ∣ f (p) - f (q) ∣$

证明. 经典丘赛题.

$□$

问题 0.6. 对任何一个流形, 都存在一个度量使得其在某个点的邻域以外都平坦么?

证明. 反例:

S^{2} \times S^{2}

.

$□$

问题 0.7. $R$ 连续统基数的子集的 Hausdorff 维数一定大于 0 吗?

证明. 不一定. 反例有二: (1) 考虑在 cantor 集上为

0

, 其余地方为正的光滑函数

f

. 设

g

是

f

的原函数, 那么

g (C)

是零维的. (2) cantor 集每次挖多一点.

$□$

问题 0.8. 对于有正性的 currents, 其弱拓扑是可度量化的.

证明. cjy 发的某法文文献.

$□$

问题 0.9. 一个正 $R i c$ 曲率流形, 若其上一点 $p$ 处附近的 $R i c$ 有正下界 $c$ . 那么过 $p$ 的往两段延伸的最短测地线的长度有控制么.

证明. 这就是局部版本的 Bonnet-Myer.

$□$

问题 0.10. 度量空间到自己的等距映射一定是同胚吗?

证明. 紧是经典丘赛题, 非紧考虑自然数+1 即为反例.

$□$

问题 0.11. 如果假设 Stein 流形上 cech cohomology 和 singular cohomology 同构, 那么这个结论是错的. 所以为什么 Stein 流形上两个同调不同?

证明. Demailly 的 Hodge conjecture 的 p366.

$□$

问题 0.12. 来自一个表情包: $G R_{2} (R^{4})$ 是复流形吗?

证明. 它甚至不可定向.

$□$

问题 0.13. $C - {0, 1}$ 上是否有完备的共性双曲度量?

证明. 考虑其复叠, 由 Picard 小定理知其复叠是双曲空间, 从而其本身有双曲度量.

(但这个证明最后没有被接受, 因为课上是要用这个证 Picard 小定理)

$□$

问题 0.14. handlebody 有双曲结构使得边界测地吗?

证明. 迷神: 那总该有, 只要欧拉数负.

$□$

问题 0.15. $A, B, C$ 是完备黎曼流形上三点, 那么: $D \to C lim \frac{∠ A B C - ∠ A D C}{∣ C D ∣} < \infty$

证明. 可用 Jacobi 场暴算, 也可用 Hessian 比较定理.

$□$

问题 0.16. 一定有 $d i m (X \times Y) = d i m (X) + d i m (Y)$ 吗? 这里 $d i m$ 指 Hausdorff 维数.

证明. 答案是否定的, 反例在 wiki 的 ref 里有.

$□$

问题 0.17. 2 维 tours 上是否存在两个度量, 使得他们对应曲率加起来在每一点都是正的?

证明. 实际上有一般得多的结论: 紧流形上每个有正有负的函数都可以被实现为数量曲率.

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问题 0.18. 证明直径为 1 的平面图形半径最大为 $3 / 3$ .

证明. 取外心.

$□$

问题 0.19. $R^{n}$ 里极小曲面的高斯映射一定是满射吗?

证明. 答案是否定的, 反例可 wiki: Schwarz minimal surface

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问题 0.20. $R^{n}$ 中两个凸紧曲面, 一个在另一个里面, 那么外面那个体积是不是一定要比里面的大?

证明. 答案是肯定的, 考虑在各个方向上投影的积分.

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问题 0.21. 正截面曲率流形的、维数和不小于全空间维数的、两个全测地子流形交非空.

证明. 长度二阶变分的应用.

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问题 0.22. 存在一个 $H_{1}$ 是 $0$ , 高维同伦群是 0 的流形么?

证明. 三流形理论中可以找到这样的流形: 找两个扭结的补粘起来.

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问题 0.23. 如何计算 $S O (n)$ 作为欧式空间子流形的体积?

证明. https://math.stackexchange.com/questions/183138/on-the-volume-of-compact-matrix-lie-groups

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问题 0.24. $R^{n}$ 中局部凸的空间一定整体凸吗?

证明. Ref 为 Lan-Hsuan Huang 与 Damin Wu 的某篇文章

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问题 0.25. 高维欧式空间共形映射分类.

证明. 可以证明共形映射可以沿拓到无穷远点处, 之后分析可知必须为平移旋转伸缩反射的复合.

$□$

问题 0.26. 对于一个一般的幂级数 $f$ , 一个实向量丛 $E$ , Chern Weil 理论给出一个上同调 $f$ -实行类, 那么任何一个 $f$ 示性类都会等价于某一个 Pontrjagin 类与 Euler 类的多项式或者幂级数吗?

证明. 总归是来自分类空间上同调环.

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问题 0.27. Ric 曲率有不依赖于曲率张量的定义么? 像截面曲率可以由三角形比较, 数量曲率可由极限的体积比较定义.

证明. Ref: CD(K,N) 空间.

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