用户: 水晶球/讨论班群2021年度几何与拓扑问题整理/几何方向问题/待解决

问题 0.1. 对黎曼流形 $(M,g)$, 给一个点 $p$, $Isom(M)$ 是以 $Isom(M)(p)$ 为底空间, $Isom(M)$ 中保持 $p$ 点不动的闭子群为纤维的纤维丛么.

证明.

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问题 0.2. 现有一个模型空间中常平均曲率的可定向超曲面 $\Sigma$, 其上有一个 Killing 场 $X$, 记 $f=⟨\text{n},X⟩$, 那么有恒等式: $${\Delta }_{\Sigma }f+(|A{|}^2+Ric(\text{n},\text{n}))f=0$$

证明. 估计大家都懒得算.

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问题 0.3. 求所有平面上的曲线, 其与其在压缩变化 $(x,y)\mapsto (x,ay)$ 下的像等距同构.

证明. 有一些分平凡的有趣例子, 比如 $y=e^x$.

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问题 0.4. $\mathbb{C}\times \mathbb{C}$ 中可缩开集在双全纯等价意义下的分类.

证明. 迷神: 看上去不太会有.

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问题 0.5. 考虑黎曼流形 $M$ 上这样的狄利克雷问题: $f{|}_{\text{p}B(p,r1)}=h,f{|}_{\text{p}B(p,r2)}=0$. 其中 $r_1$ 固定且小于 $r_2$. 对怎样的 $M$, $r_2$ 趋于无穷时 $f$ 能量趋于 $0$.

证明. 部分特殊情况的讨论: 径向对称的曲面上答案是肯定的, ${\mathbb{R}}^n$ 在 $n\ge 3$ 时答案是否定的.

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问题 0.6. 给定半径, 双曲平面上的最密堆积是什么?

证明.

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问题 0.7. 存在拓扑同胚但不辛同胚与 ${\mathbb{C}\mathbb{P}}^n$ 的曲面吗.

证明.

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问题 0.8. 单连通非正曲率流形上两个球面交出来的一定是 $S^{n-2}$ 吗?

证明.

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