用户: 水晶球/讨论班群2021年度几何与拓扑问题整理/拓扑方向问题/已解决

问题 0.1. 紧的同伦等价但不同胚的流形的例子.

证明. 不要求单连通可以考虑透镜空间, 要求单连通的话四流形理论将给出反例.

$□$

问题 0.2. 可缩空间上纤维丛平凡.

证明. 有若干解答: 例如 Hatcher 上有, 无穷范畴, 用局部有限开覆盖的同伦一点一点推过去.

$□$

问题 0.3. $H^{p} (B; H^{q} (F))$ 何时与 $H^{p} (B) \otimes H^{q} (F)$ 何时一样?

证明. 可由某中万有系数定理得到, 可见 gtm139 的某一个习题.

$□$

问题 0.4. $R^{3}$ 中单连通开集里的简单闭曲线是否一定包住一个正则的可定向闭曲面?

证明. 对于分段线性的情况, seifert 曲面给出了

R^{3}

中这种曲面的例子. 又由于 seifert 曲面自然是 bicollared 的, 因而可以让其在某个单连通开集里.

$□$

问题 0.5. 同胚和同伦等价的关系可以把 $T O P$ 视为高阶范畴来得到吗?

证明. 这就是无穷范畴.

$□$

问题 0.6. 计算 $[S^{2} \times S^{2}, U (2)]$

证明. 由于余纤维:

S^{2} ⋁ S^{2} \to S^{2} \times S^{2} \to S^{4}

. 上式等于

π_{2} (U (2)) \oplus π_{2} (U (2)) \oplus π_{4} (U (2))

$□$

问题 0.7. 局部紧空间一定同伦等价于有限维 CW 复形么, 再加上同调有限的条件呢?

证明. 对于第一问, 考虑

(S^{1})^{\infty}

即为反例. 对第二问, 单连通的情况是肯定的.

$□$

问题 0.8. 三维可定向流形一定都是可平行化的.

证明.

w_{1} = 0

, 利用吴公式计算

w_{2} = w_{1}^{2} = 0

, 由阻碍理论可知结论.

$□$

问题 0.9. 如何计算 $(G_{n} (C^{\infty}))$ 的同伦与同调群?

证明. 同伦群可化为球同伦群问题. 同调群由 CW 结构或者

B U

谱序列可算.

$□$

问题 0.10. 复线丛为什么由第一陈类唯一决定?

证明. 考虑短正合列:

0 \to Z \to C \to C^{*} \to 0

诱导的层正合列. 亦或是因为

C P^{\infty}

是

K (Z / 2, 2)

空间, 进而由万有丛理论得到.

$□$

问题 0.11. 障碍类为什么是自然的?

证明. 考虑胞腔逼近, 在切片上拉回.

$□$

问题 0.12. 多少个可缩集合可以覆盖 $T^{n}$ ?

证明. 计算上同调环知

n

个不行, 取

C W

结构, 对

k

维开胞腔稍作连接得到

n + 1

的构造.

$□$

问题 0.13. 拓扑流形商掉一个不 properly discontinuous 的群的作用是否一定不是同维数拓扑流形.

证明. 不是, 典型反例是分歧复叠.

$□$

问题 0.14. 实数赋半开区间拓扑没有可数基.

证明. 每个开集 U 总是联通分支的并 (这里的联通分支是在 R 的通常拓扑的意义下) , 然后每个联通分支都不可能是单点集, 所以一定是个区间, 然后只有可数个.

$□$

问题 0.15. $χ$ 是 Thurston norm, $a \in H_{2} (M)$ , 那么 $χ (k a) = k χ (a)$ .

证明. 为什么每一种代表 ka 的曲面都形如一个函数的正则值原像呢

基本上就是 by integrating thom form

对于 S, 它的 thom form represent poincare dual cohomology class, 在任何 path 上对这个 form 积分然后 mod Z 就给出一个到 $S^{1}$ 的 map, 这个 map 的一个 fiber 就是 S

基本上就是考虑 $H^{1} (M, Z) Z = [M, S 1]$ 在 differential form 的层面上是什么 map

这个 trick 在三维还挺好用的

$□$

问题 0.16. $B$ 是一个不一定好的拓扑空间, $H^{1} (B, Z / 2) = 0$ , 那么 $B$ 上线丛一定平凡吗?

证明. 不一定, 反例是康托尔集的 suspension. 这个反例的常值层上同调与奇异上同调不相同.

遗留问题:

Q

上线丛一定平凡吗?

$□$

问题 0.17. Hausdorff 空间上的向量场一定有度量吗?

证明. 不能, 反例是长直线的切丛. 因为其无整体切向量场.

$□$

问题 0.18. 拓扑群上的 Borel 可测函数在单位元的闭包上为常值.

证明. 拓扑群的

T_{0}

化等于它商掉单位元的闭包.

$□$

问题 0.19. 可数基但不可度量化的 Hausdorff 空间例子

证明. Sorgenfrey line.

$□$

问题 0.20. $S^{2}$ 到 $S^{2}$ 的偶度映射一定有 $x$ 使得 $f (x) = f (- x)$

证明. 如果不存在那么

f

同伦于一个奇映射, 因而度为奇.

$□$

问题 0.21. 两个不极限点紧空间乘积极限点紧的例子.

证明. Ref: 《On the Cartesian Product of Two Compact Spaces》by J.Novak

$□$

问题 0.22. 找 Brouwer 不动点定理里不动点的算法.

证明. 大体思路是你现在有一个

f_{1}

要求不动点, 然后你构造一个

f_{0}

它有容易求的不动点, 然后你构造一个同伦

f_{t}

, 这样的话从

f_{0}

的不动点到

f_{1}

的不动点有一条连续的路径, 这条路径一般可以用 ODE 写出来, 或者你每走一小步 delta t 做一步 Newton 法都行, 这方法也常用于多项式求根和计算代数几何

$□$

问题 0.23. $X$ 是度量空间, 有一个 [0,1] 到 $X$ 的满射, 那么 $X$ 一定是局部道路连通的吗?

证明. Hahn-Mazurkiewicz 定理告诉你这种空间等价于连通且局部道路连通的紧度量空间. 满足这些条件不局部道路连通空间的例子:

https://math.stackexchange.com/questions/1492772.

$□$

问题 0.24. 若 $R^{n}$ 中某个开集闭包紧, 那么其是否一定是有限个开凸集的并?

证明. 答案是否定的, 考虑

[0, 1] - {0} \cup {1 / n}

$□$

问题 0.25. 集合 $X$ 上拓扑数量是多少?

证明. 答案:

2^{2^{∣ X ∣}}

$□$

问题 0.26. $K (Z / m, 1)$ 不能是流形.

证明. 因为

H^{*} (K (G, 1)) = E x t (G)

, 其同调有无限项非 0, 故不能是流形.

$□$

问题 0.27. 亚历山大角球有管状邻域么?

证明. 没有, 其不光滑. 而且若有管状邻域, 那么内部同胚于开球.

$□$

问题 0.28. $S^{2}$ 切丛和平凡丛微分同胚么?

证明. 经典丘赛题, 算横截相交数

$□$

问题 0.29. $f$ 是链同伦等价, 那么 $f$ 对应的映射锥可缩.

证明. (1) 设两个链复形是 $X$ 与 $Y$ , 先将 $X$ 打到映射柱, 将映射柱打到 $Y$ .

(2) 证明

c o n e (c o n e (f) \to c o n e (g f))

同伦等价与

c o n e (g)

.

$□$

问题 0.30. 复叠的复叠一定还是复叠吗?

证明. 见 Hatcher 习题.

$□$

问题 0.31. $R^{3}$ 中开集基本群一定无挠吗?

证明. Epstein 的一个定理告诉你基本群有挠的三流形一定可以分解为两个非平凡子流形的连通和. 进而得出矛盾.

$□$

问题 0.32. $n$ 维紧流形可以连续单射到 $R^{n}$ 么?

证明. 不能, 由区域不变性证明.

$□$

问题 0.33. 求证对所有的拓扑空间 $X$ , $a, b \in H^{1} (X, Z)$ , $a \cup b = 0$ .

证明. 关键点是

K (Z, 1) = S^{1}

.

$□$

问题 0.34. 微分流形一定有解析结构吗?

证明. 迷神: 这是一个很不平凡的结果.

$□$

问题 0.35. 给定一个 $m$ 维流形和一个 $n$ 维流形, $m < n$ . 它们间是否存在映射 $f$ 使得 $r a n k (d f)$ 恒大于等于 $m - 1$ .

证明. 环柄分解即可.

$□$

问题 0.36. $D$ 是 $R^{2}$ 中连通但不单连通的有界开集, 那么 $D$ 的补集一定不连通吗?

证明. 取

D

中一个分段线性的不可缩简单闭曲线, 内外都有

D

的连通分支.

$□$

问题 0.37. 证明 $R^{w}$ 不是 $σ$ 紧的. 这里 $R^{w}$ 表示可数个 $R$ 的乘积拓扑.

证明. 如果其可以表示为紧空间的并, 考虑其在每个方向的投影. 由对角线法则可以去除不在其中的点.

$□$

问题 0.38. 取 $Z$ 上所有等差数列为拓扑基的拓扑, 它是可数, $T_{2}$ , $C_{2}$ 且无孤立点的, 那么它是 $Q$ 吗?

证明. 其为

Z^{\land}

的子空间拓扑, 而

Z^{\land}

同胚于康托尔集, 因此其有序拓扑. 实际上, 类似论证

Q^{2}

也和

Q

同胚.

$□$

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