用户: 水晶球/讨论班群2021年度几何与拓扑问题整理/拓扑方向问题/待解决

问题 0.1. 什么情况下一个底空间为 $X$ , 纤维为 $Y$ 的丛同胚于一个纤维为 $X$ , 底空间为 $Y$ 的丛

证明. 平凡的肯定对. 此外有例子: 用一个有限阶的闭双曲曲面自同胚搞出一个 S1 上的曲面丛, 这个三维流形有

H^{2} \times R

几何, 于是他是 seifert fibration (纤维

S^{1}

, 底空间 orbifold

$□$

问题 0.2. $S F S [D : (2, 1) (2, 1)] U / m S F S [D : (2, 1) (3, 1)], m = [- 5, 8 — - 2, 3]$ 这个图流形, 我们知道作为流形 $S F S [D : (2, 1) (2, 1)]$ 微分同胚于 mobius 带上的 (全空间可定向的) $S^{1}$ 丛 (记作 $M_{1}$ ) , 于是上面的流形是 $M_{1}$ 与 $S F S [D : (2, 1) (3, 1)]$ 沿着边界环面用某个映射粘在一起, 问两者的纤维在环面里的几何相交数是不是 1?

证明. 我看不懂, 但我大受震撼.

$□$

问题 0.3. 有没有哪些具体能算的 2+1 维酉拓扑场论呢 (给定一个闭三维流形的三角剖分能塞进电脑算的那种)

证明. 我看不懂, 但我大受震撼.

$□$

问题 0.4. 分类基本群是循环群的闭三流形是否一定是透镜空间或 $S^{1} \times S^{2}$ .

证明. 对于有限循环群, 可以说明其一定是 elliptic 流形, 根据 elliptic 流形分类可知其一定是透镜空间. 剩下的问题是分类基本群为

Z

的紧三流形.

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问题 0.5. 我想找个例子算 heegaard genus, 取 seifert fiber space $[S 2 : (2, 1) (2, 1) (2, - 1)]$ , 他闭可定向连通并且不可约, 他里面的正规曲面和 almost 正规曲面就图中那四个所以他 non Haken, 于是 minimal genus Heegaard surface is strongly irreducible (一个定理) , 由截图中的定理观察那些曲面发现他 heegaard genus 小于等于 1, 从而他是球或者透镜空间, 但是由基本群看这是不可能的, 矛盾, 到底是哪里出问题了呢 ( °∀. )

证明. lq 的问题日常让我看不懂, 我大受震撼.

$□$

问题 0.6. 拓扑流形连通和的定义.

证明.

$□$

问题 0.7. 两个局部欧的连通拓扑空间之间的连续双射一定是同胚吗?

证明. 去掉连通的反例: $R$ 个 $R$ 到 $R^{2}$ 的映射.

加上仿紧和

T^{2}

的条件: 用 Baire 定理可知结论.

$□$

问题 0.8. Hacther 上定义奇异上同调把换顶点顺序后的复形当成完全不同的复形, 这导致从单纯同调到奇异同调的链映射不良定. 如何解决这个漏洞?

证明. 解决方式有不少, 但并没有一个简单有效的

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问题 0.9. 对一个紧拓扑流形 $M$ , 是否一定存在一个连续满射 $f : B^{n} R a M$ , 使得 $f$ 在 $B^{n}$ 内部是单射.

证明. 光滑版本的这个问题可以由 cut locus 得到.

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问题 0.10. 紧流形上微分结构数量有限吗?

证明. 有人跟我说过这是对的, 但我没找到正式的 ref.

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问题 0.11. $X$ 是拓扑空间, $X \times R$ 是流形, 那么 $X$ 一定是流形吗?

证明. 在假设各种光滑性的前提下, 将 $X \times R$ 嵌入 $R^{m}$ . 考虑在最后一个分量再乘个 $R$ , $X \times R$ 可嵌入 $R^{m + 1}$ , 最后一个分量是 $i d$ . 利用 Sard 定理可知结论.

连续情况仍待解决.

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问题 0.12. 对任何一个拓扑空间 $X$ , 是否存在一个单连通拓扑空间 $Y$ , 使得存在 $Y$ 到 $X$ 的连续双射?

证明.

$□$

问题 0.13. 微分流形流形的二阶切丛有多少典范的结构? 二阶余切丛上有重言 $1$ -形式.

证明. 我看不懂, 但我大受震撼.

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问题 0.14. 对怎样的 $k$ , 对不一定 Hausdorff 的 $k$ 维流形上任意两点 $a$ 与 $b$ 一定存在连接 $a$ 与 $b$ 的简单曲线.

证明. 对正常流形的情况, 用自同胚把

a

和

b

弄到同一个坐标卡内即可.

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