用户: 香蕉三千/局部Arthur包

约定: $F$ 表示整体域, $F_v$ 表示局部域, $G$ 表示 $F$ 或者 $F_v$ 上的约化群, $\psi$ 表示 Arthur 参数, $\varphi$ 表示 Langlands 参数.

1故事

以整体 Langlands 对应为动机, Arthur 考虑对 $L_{disc}^2([G])$ 按离散不可约自守表示 $\pi$ 的几乎等价类进行分类. 两个自守表示 ${\pi }_1,{\pi }_2$ 称为几乎等价, 如果对有限个 $v$ 之外都有 ${\pi }_{1,v}\cong {\pi }_{2,v}$. 注意从 L 函数角度看, 几乎等价类的自守 L 函数在差有限 Euler 积意义下良定. 考虑猜想存在的整体的 Langlands 群 ${\mathcal{L}}_F$ , 那么一个整体 Arthur 参数是指一个连续 (半单) 同态 ${\mathcal{L}}_F\times S{L}_2(\mathbb{C})\to {}^{L}G(\mathbb{C})$. 实践中为避免猜想, 用 $G{L}_n$ 的不可约尖自守表示来代替 ${\mathcal{L}}_F$ 的 n 维连续表示, 典型群的 Arthur 参数可粗糙看成一个形式有限和$$\psi =\sum _{(n,i)}(来自此典型群同系物的G{L}_n不可约尖自守表示)⊠(S{L}_2(\mathbb{C})的不可约代数表示Sy{m}^i{\mathbb{C}}^2)$$这里 $G{L}_n$ 不可约尖自守表示 $\pi$ 是否来自典型群可用 L 函数探测, 如 $\pi$ 是辛的等价于 $L(s,\pi ,{\wedge }^2)$ 在 $s=1$ 有极点.

我们期望几乎等价类被 Arthur 参数标号, $\psi$ 对应的几乎等价类称为 $\psi$ 的整体 Arthur 包. 特别地, 整体 Arthur 俩俩不交. 进一步期望, 整体 Arthur 参数能给出自守表示在 $L_{disc}^2([G])$ 出现重数的具体公式 (AMF). 借助 Arthur 包的成员分类, 重数应该是乘以符号特征 ${ϵ}_{\psi }$ 取平均和.

例 1.1. 平凡 1 维表示的几乎等价类只有它自己, 所以它所在的整体 Arthur 包是单点集. 其 Arthur 参数在 ${\mathcal{L}}_F$ 上平凡, 在 $S{L}_2(\mathbb{C})$ 把上三角阵送到 ${}^{L}G$ 中正则幂幺元生成的单参数子群.

几乎等价类具有局部整体原则, 因而期望整体 Arthur 包是局部 Arthur 包的限制乘积. 这个重要的期望使故事转向局部. 我们暂时只考虑非阿位, 有良定的局部 Langlands 群 ${\mathcal{L}}_{F_v}=W_{F_v}\times S{L}_2(\mathbb{C})$, 故有

定义 1.2. 一个 L 参数=连续同态 $\varphi :{\mathcal{L}}_{F_v}\to {}^{L}G(\mathbb{C})$. 称 $\varphi$ 是 tempered 的, 如果 $W_{F_v}$ 的像有界.

定义 1.3. 一个 A 参数=连续同态 $\psi :{\mathcal{L}}_{F_v}\times S{L}_2(\mathbb{C})\to {}^{L}G(\mathbb{C})$, 使得 $W_{F_v}$ 的像有界.

命题 1.4. $$\{\text{tempered}L\}\subseteq \{A\}\subseteq \{L\}$$

总之局部 Arthur 包 $A_{\varphi }$ 是一些 $G(F_v)$ 的不可约表示组成的有限集, 且与整体定义相容. 分类问题化成一个纯局部问题: 如何具体构造 $A_{\psi }$ 中元素并唯一刻画对应 $\psi \to A_{\psi }$?

1.	局部 A 包包含局部 L 包
2.	局部 A 包里的元素都是酉表示, 因为自守表示都是酉表示.
3.	局部 A 包可能相交. tempered 的 A 包俩俩不交.

定义 1.5. $G(F_v)$ 的不可约表示称为 Arthur 型的, 如果它出现在某个 A 包里.

至少对 $F_v$ 上拟分裂群 $G$, 局部 Langlands 参数 $\varphi$ 的 Langlands 包中的成员可被 $\varphi$ 中心化子的连通分支群 $S_{\varphi }$(有限群) 的一些不可约复表示分类, 进而区分. 严格来说按 Vogan 的思路, $S_{\varphi }$ 不可约表示与 $G$ 的所有纯内形式关于 $\varphi$ 的 Langlands 包之并有一一对应, 由表示在 $G^{\vee }$ 的中心 Galois 不变元上的限制决定生活在哪个纯内形式上.

期望局部 Arthur 包中的成员也应该被其中心化子的连通分支群 $S_{\psi }$ 的一些不可约复表示分类, 但更为微妙. 注意对典型群, 这些有限群都是交换的.

例 1.6. $G=G{L}_n$ 的构造: $\psi ={\rho }_{\pi }\otimes [a]\otimes [b]$, $\pi$ 超尖.$${\pi }_1=Stein(\pi ,a)$$$${\pi }_2=Speh({\pi }_1,b)$$${\Pi }_{\psi }=\{{\pi }_2\}$

关于典型群局部 A 包的构造

1.	Arthur 的书: $G=S{p}_{2n},S{O}_{2n+1},S{O}_{2n}$. 考虑一个 A 参数, 它沿标准嵌入 $G^{-}>G{L}_N$ 定义 $G{L}_N$ 的一个 A 参数, 由上面构造得到 $G{L}_N$ 的一个 A 包, 即某表示 $\pi$ 构成的单点集. 那么 $\psi$ 的 A 包应该是那些转移到 $G{L}_N$ 后特征标与 $\pi$" 相关 " 的 $G$ 的表示.
2.	Moeglin 早年关于典型群局部 A 包的构造做了大量艰深的工作, 我们暂且无时间讨论结果, 如非分歧表示的 A 参数, A 包里的 L 包. 她的构造可以化到 A 参数有好 parity, 进一步是初等的情况. 她刻画 Arthur 包的方式是内窥特征标关系.
3.	Atobe 给出 Moeglin 的构造的加细, 使得更方便计算. [HLL] 最近组合计算了所有 A 包.

例 1.7. 由 Moeglin 的工作, $S{O}_5$ 的 non-tempered 的 Saito-Kurokawa A 包, 会与 tempered 的 A 包相交.

例 1.8. 由 Arthur 的书 [Thm 1.5.1], $S{O}_{2}n$ 的 A 包至多有两个元素且它们 $O_{2}n$ 共轭等价. 平凡表示和 Steinbrg 表示的 A 包都是唯一的单点集, 两者的 A 参数是 $O_{2n}$ 等价的.

2基本观察

对角阵 ${\mathbb{G}}_m\hookrightarrow S{L}_2$ 的作用给出分次, 一些情况与 ${\mathcal{L}}_{F_v}$ 的作用交换.

定义 2.1. 次数 2$$e=d\psi (\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\in S{L}_2^A)\in \mathrm{Lie}{}^{L}G$$$e=T{T}^{\ast }??$

椭圆 A 包

3L 包不超尖的超尖表示