用户: 香蕉三千/有限域上Weil表示

本文介绍有限域上二次型的 Weil 表示理论. 固定有限域 ${\mathbb{F}}_q$ ($p>2$), ${\mathbb{F}}_q$ 上非退化 $n$ 维二次空间 $(V,q)$.

我们在有限域上工作有诸多方便:

1.	${\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_q)$ 的复表示都是不可约表示的直和.
2.	Weil 表示可以定义在 ${\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_q)$ 上.

1${\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_q)$ 的表示论

命题 1.1. ${\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_q)$ 的阶数是 $q(q-1)(q+1)$, 共有 $q+4$ 个共轭类. $2$ 个位于中心, $4$ 个其他幂幺共轭类, $|{\mathbb{F}}_q^{\times }-\{\pm 1\}/x\sim x^{-1}|=(q-3)/2$ 个来自分裂环面, $|{\mu }_{q+1}-\{\pm 1\}/x\sim x^{-1}|=(q-1)/2$ 个来自非分裂环面.

证明. Table 1.1. [1].

$\square$

命题 1.2. ${\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_q)$ 的不可约表示的维数是

1.	$1$, 平凡表示, 有 $1$ 个.
2.	$q$, 特殊表示, 有 $1$ 个.
3.	$(q+1)/2$, 可约非平凡特征标主序列的直和, 有 $2$ 个.
4.	$q+1$, 不可约主序列, 有 $(q-3)/2$ 个.
5.	$(q-1)/2$, 只有一种 Whittaker 模型的不可约尖表示, 有 $2$ 个.
6.	$q-1$, 有两种 Whittaker 模型的不可约尖表示, 有 $(q-1)/2$ 个.

证明. Table 5.4. [1].

$\square$

2表示

固定二次非平凡乘法特征 $\chi :{\mathbb{F}}_q^{\times }\to \{\pm 1\}$, 非平凡加法特征 $\psi :{\mathbb{F}}_q\to \mathbb{C}$.

定义 2.1. $\forall f\in \mathbb{C}[V]$, $$b.f(x)=\psi (bq(x))f(x).$$$$a.f(x)=\chi (ax{)}^{n}f(x).$$$$w_p.f(x)={\gamma }_V{q}^{-n/2}\sum _{y\in V}\psi (q(x,y))f(y).$$

[1]	Cédric Bonnafé, Representation theory of ${\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_q)$, book, 2019.
[2]	https://groupprops.subwiki.org/wiki/Linear_representation_theory_of_special_linear_group_of_degree_two_over_a_finite_field.