用户: Afsdfsadasd/2022学年第二学期遍历论引论期末考试

2023 年 6 月 9 日

每题均为 20 分, 考试时长 2 小时. 难度简单. 符号与课上所用的含义, 此处将作一些必要解释.

 

一、假设一个 subshift of finite type 由矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$ 给出.

(1) 证明 ${\sigma }_A$ 是拓扑混合的.

(2) 求值 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \#\mathrm{Fix}({\sigma }_A^n).$

(上述 $\#$ 表示集合中元素个数, $\mathrm{Fix}()$ 表示不动点全体构成的集合. )

 

二、记 $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, 设 $\alpha \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ 并记 $R_{\alpha }$ 是 $\mathbb{T}$ 上平移 $\alpha$ 的映射. 对 $\mathbb{T}$ 取 Borel $\sigma$-代数与 Lebesgue 测度, 证明该系统遍历但是不弱混合.

 

三、记矩阵 $\gamma =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, 以及 $f_{\gamma }$ 是 ${\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{T}}^2$ 上由该矩阵作用得到的映射, 在此空间中取 Borel $\sigma$-代数与 Lebesgue 测度, 证明该系统强混合.

(作用当然指的是矩阵乘向量. )

 

四、设 $X$ 是紧度量空间, 以及 $f:X\to X$ 是连续映射, 并记 $\Lambda$ 是 $f$ 的周期点的闭包. 证明:

(1) 对任一 $\mu \in P_f(X)$, 都有 $\mu$ 支撑于 $\Lambda$ 中.

(2) 有 $h(f)=h(f{|}_{\Lambda })$.

($P_f(X)$ 指的是 $f$-不变的概率测度, $h(f)$ 指的是 $f$ 的拓扑熵. )

 

五、考虑 Bernoulli 转移: $X=\{0,1,2{\}}^{\mathbb{N}}$, 乘积测度为 $\lambda =(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2}{)}^{\otimes \mathbb{N}}$, 取离散 $\sigma$-代数的乘积 $\sigma$-代数.

再考虑 $\mathbb{T}$ 上的乘 2 映射 $T_2$ 与任一 $T_2$ 不变的概率测度 $\mu$, 取 Borel $\sigma$-代数.

证明: $(X,\sigma ,\lambda )$ 与 $(\mathbb{T},T_2,\mu )$ 不等价.