用户: Aripriner/丢番图逼近/简介

我们先来看看下面的两个问题:

问题 0.1. 对于无理数 $\alpha$, 我们是否能用有理数来任意逼近 $\alpha$?

问题 0.2. 进一步地, 如果我们要求逼近的有理数的分子和分母不平凡的足够大, 又是否能够充分逼近?

为了回答上面提出的问题, 我们考虑这样的一个实数 $\tau$: 如果对任意的实数 $e>\tau$, 总是只存在有限个有理数 $\frac{p}{q}$, 使得 $|\frac{p}{q}-\alpha |<\frac{1}{q^e}$. 则我们定义无理数 $\alpha$ 的指数为 $\tau (\alpha )=\tau$. 我们可以看出指数衡量了有理数能达到的精细逼近程度.

在历史上, 关于指数的研究大致有如下结果:

•	Dirichlet 证明了对于所有的实无理数 $\alpha$, $\tau (\alpha )\ge 2$
•	Liouville 证明了如果 $\alpha$ 是一个 d 次代数数, 那么 $\tau (\alpha )\le d$
•	Thue 证明了 $\tau (\alpha )\le \frac{d}{2}+1$
•	Siegel 证明了 $\tau (\alpha )\le 2\sqrt{d}$
•	Gelfand 和 Dyson 证明了 $\tau (\alpha )\le \sqrt{2d}$
•	Roth 最终证明了 $\tau (\alpha )=2$

这里我们陈述 Roth 定理的一般形式:

定理 0.3. 设 K 是一个数域, $S\subset M_k$ 是有限个位置的集合, 注意到它们同样可以扩张到 K 的代数闭包 $\overline{K}$. 则对于任意正实数 $ϵ$ 和 $\alpha \in \overline{K}$, 只有有限个 K 中的元素 $\beta$ 满足$$\begin{array}{r}\prod _{v\in S}min\{||\beta -\alpha |{|}_v,1\}\le \frac{1}{H_k(\beta {)}^{2+ϵ}}\end{array}$$

注意到以下事实:

•	如果对 Roth 定理对所有的代数整数成立, 那么对所有的代数数也成立.
•	Roth 定理等价于以下的命题: 命题 0.4. 设 K 是一个数域, $S\subset M_k$ 是有限个位置的集合, 注意到它们同样可以扩张到 K 的代数闭包 $\overline{K}$. 则对于任意正实数 $ϵ$ 和 $\alpha \in \overline{K}$, 和一个满足 ${\sum }_{v\in S}{\xi }_v=1$ 的函数 $\xi :S\to [0,1]$, 只有有限个 K 中的元素 $\beta$ 满足对任一 $v\in S$, $$\begin{array}{r}||\beta -\alpha |{|}_v\le \frac{1}{H_k(\beta {)}^{(2+ϵ){\xi }_v}}\end{array}$$

在之后的章节里, 我们将要花主要部分来证明 Roth 定理, 证明的主要思路是如果有无穷多个满足条件的元素, 我们可以取出 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m$ 使得 $H_k({\beta }_1)$ 很大, 同时每个 $H_k({\beta }_{i+1})$ 都要远远大于 $H_k({\beta }_i)$. 这个时候我们可以构造一个辅助多项式 $P(x_1,\cdots ,x_m)$. 它是个整系数多项式, 在 $(\alpha ,\cdots ,\alpha )$ 处为 0, 且零点阶数会非常大. 那么我们根据泰勒展开式, 这个多项式在 $({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m)$ 处的值会很小, 因此必定为 0, 而且零点阶数也会很大. 但是根据我们即将介绍的 Dyson 引理 (或者 Roth 引理) , 在此处的零点阶数不可能这么高, 从而导出矛盾.

最后我们介绍一些有关联性且有趣的定理.

定理 0.5. (Liouville) $\alpha$ 是一个 d 次无理代数数, 则存在正实数 $c(\alpha )$, 使得对每个有理数 $q=\frac{a}{b},b>0$, 我们有$$\begin{array}{r}|\alpha -q|>\frac{c(\alpha )}{b^d}\end{array}$$

定理 0.6. (Thue) 设 $F(x,y)$ 是一个整系数不可约多项式, 且次数不小于 3. 设 c 是一个非零整数. 则方程$$\begin{array}{r}F(x,y)=c\end{array}$$仅有有限多组整数解.

定理 0.7. (Siegel’s theorem over $\mathbb{Z}$) 设 C 是仿射空间上一条光滑且几何不可约的曲线. 如果 C 的亏格大于 1, 或者亏格为 0 且 $\#(\overline{C}/C)\ge 3$, 这里 $\overline{C}$ 指 C 的紧化. 那么 $C(\mathbb{Z})$ 是有限的.