用户: Aripriner/丢番图逼近/预备知识

定义 0.1. 设 P 为一个实系数 m 元多项式, $(i_1,\cdots ,i_m)$ 为一组自然数. 我们定义 $|P|$ 为 P 所有系数的绝对值中的最大值, 以及令$$\begin{array}{r}{\partial }_{i_1\cdots i_m}P=\frac{1}{i_1!\cdots i_m!}\frac{{\partial }^{i_1+\cdots i_m}}{\partial x_1^{i_1}\cdots \partial x_m^{i_m}}P\end{array}$$称为正规化偏导.

这里我们之所以如此定义正规化偏导, 是希望在泰勒公式或者莱布尼茨公式中把各项的系数归一, 方便我们进行估计. 可能唯一要注意的是这样的偏导不再交换.

引理 0.2. 设 P 为 m 元整系数多项式, $(i_1,\cdots ,i_m)$ 为一组非负整数, 那么我们有:

1.	${\partial }_{i_1,\cdots ,i_m}P$ 也是整系数多项式
2.	如果对每个整数 $1\le h\le m$, 都有 $de{g}_{x_h}(P)\le r_h$, 则$$\begin{array}{r}|{\partial }_{i_1\cdots i_m}P|\le 2^{r_1+\cdots +r_m}|P|\end{array}$$

这里也可以看出来我们这样定义正规化偏导的意义.

定义 0.3. 设 k 是一个域, $P(x_1,\cdots ,x_m)\in k[x_1,\cdots x_m],({\alpha }_1,\cdots {\alpha }_m)\in k^m$ 是 $k^m$ 中一个点. 记 $r_1,\cdots ,r_m$ 是一些正整数. P 关于 $({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m;r_1,\cdots ,r_m)$ 的指标 (记为 $Ind(P)$ ) 为形如 $\frac{i_1}{r_1}+\cdots +\frac{i_m}{r_m}$ 的数的最小值, 同时自然数组 $(i_1,\cdots ,i_m)$ 满足 ${\partial }_{i_1\cdots i_m}P({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)\ne 0$

我们给出一些关于指标的平凡的性质:

命题 0.4.

•	$Ind(P)\le 0$, 取等则 P 在 $({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)$ 处不为 0
•	如果总有 $de{g}_{x_h}\le r_h$, 则有平凡估计 $Ind(p)\le m$

引理 0.5.

1.	$Ind({\partial }_{i_1\cdots i_m})\ge Ind(P)-(\frac{i_1}{r_1}+\cdots +\frac{i_m}{r_m})$
2.	$Ind(P+P^{\prime })\ge minInd(P),Ind(P^{\prime })$
3.	$Ind(P{P}^{\prime })=Ind(P)+Ind(P^{\prime })$

引理 0.6 ((Liouville’s inequality)). 设 K 是一个 $\mathbb{Q}$ 上的数域, $\alpha \in K^{\ast }$, $S\subset M_K$, 则$$\begin{array}{r}\prod _{v\in S}min\{||\alpha |{|}_v,1\}\ge \frac{1}{H_k(\alpha )}\end{array}$$

引理 0.7. 设 $\alpha$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的代数整数, 最小多项式为 $Q(x)=x^d+a_1{x}^{d-1}+\cdots +a_{d-1}x+a_d\in \mathbb{Z}[x]$. 那么对于任意自然数 l, 我们都可以找到一族整数 $(a_1^{(l),\cdots ,a_d^{(l)}})$, 满足$$\begin{array}{r}{\alpha }^l=a_1^{(l)}{\alpha }^{d-1}+\cdots +a_{d-1}^{(l)}\alpha +a_d^{(l)}\end{array}$$且 $|a_i^{(l)}|\le (|Q|+1{)}^l$

最后我们给出一个引理, 我们将利用它来给出我们想要的辅助多项式:

引理 0.8. 设 $r_1,\cdots ,r_m$ 为正整数, $ϵ$ 为一个小于 1 的正实数, 那么至多只有 $(r_1+1)\cdots (r_m+1)e^{-{ϵ}^{2}m/4}$ 组正整数 $(i_1,\cdots ,i_m)$ 满足 $0\le i_h\le r_h$, 且$$\begin{array}{r}\frac{i_1}{r_1}+\cdots +\frac{i_m}{r_m}\le \frac{m}{2}-ϵm\end{array}$$

这个引理有一个概率上的解释: 我们可以把它看成 $i_h$ 整体上在 $r_h$ 一半处的概率至多为 $e^{-{ϵ}^{2}m}$, 类似于中心极限定理.