用户: Aripriner/p-adic Hodge Theory

这里大致记录一下我听北京国际数学研究中心开设的关于 p-adic Hodge Theory 的短课的笔记. 笔者首先要明确说明, 一方面由于本人只是处于兴趣而听了这门短课, 故我对课程中涉及到的许多概念完全不了解, 另一方面这只是一份非常粗略的笔记, 因此必然有许多错误, 读者若有发现错误, (应该可以) 在讨论区直接指出.

1简介与一些动机

从算术的观点来看, 所谓的 p-adic Hodge Theory 就是在研究 p 进 Galois 表示, 即对于一个 p 进域 K, 我们希望能够去明白从 ${\Gamma }_K:=Gal(\overline{K}/K)$ 到 $G{L}_n({\mathbb{Q}}_p)$ 的连续表示. 它的结构比其它的 $l$ 进表示更加精巧有趣 (这是因为在 $l$ 进时 ${\Gamma }_K$ 的拓扑结构与 $G{L}_n({\mathbb{Q}}_p)$ 差别较大, 从而连续这个条件本身就已经给出了很强的限制) 我们先简单解释一下为什么研究 $G_K$ 的结构比较困难. 事实上我们有下面熟知的分解:

以及

这两个分解都由

给出, 其中 $G_K$ 为 K 的绝对 Galois 群, $I_K=Gal(\overline{{\mathbb{Q}}_p}/K^{un})$,$I_K^t=Gal(K^{tame}/K^{un})$,$I_K^u=Gal(\overline{{\mathbb{Q}}_p}/K^{tame})$. 而我们已经知道 $G_k\cong \hat{\mathbb{Z}}$ 由所有 Frobenius 元生成, $I_K^t\cong \widehat{{\mathbb{Z}}_{(p)}}={\prod }_{(l,p)=1}{\mathbb{Z}}_l$. 但对于 $I_K^u$, 我们只知道它应该是一个 pro p-群, 这造成了我们理解 $G_K$ 结构的困难.

为了构造出我们想要的表示, 我们先引入一些记号:

定义 1.1. 设 $\Gamma$ 是一个拓扑群, $\Gamma$ 在有限生成 ${\mathbb{Z}}_p$-模 M 上的连续表示意指 M 上的 ${\mathbb{Z}}_p[\Gamma ]$-模结构, 同时使得自然映射 $\Gamma \times M\to M$ 是连续的 (这等价对任意的整数 n, 集合 $\{g\in \Gamma |gM\subseteq p^{n}M\}$ 是 $\Gamma$ 中的开集) . 同时我们指出:

•	所有这些表示自然构成范畴 $Re{p}_{{\mathbb{Z}}_p}(\Gamma )$
•	类似地, 我们可以定义范畴 $Re{p}_{{\mathbb{Q}}_p}(\Gamma )$

注 1.2. 我们在上面定义的这两个范畴显然保直和、张量积、对偶和商空间这些操作

注 1.3. 如果 $\rho :G_K\to G{L}_n(F)$ 是连续表示, 但 $F=\mathbb{C}$ 或是 $F={\mathbb{Q}}_l,l\ne p$, 那么如果将 $\rho$ 限制在 $I_K^u$ 上, 其像集仅有有限个元素!

下面我们来看一些具体例子:

例 1.4 (Tate 模). 设 F 是一个数域, $E/F$ 是其上椭圆曲线, 则有其 Tate 模$$\begin{array}{r}{T}_p(E)=\underleftarrow{\lim }E(\mathbb{Q})[p^n]\underset{non-canonical}{\cong }{\mathbb{Z}}_p^2\end{array}$$这样 Tate 模自身便带有一个 $G_F$ 的作用, 导出同态 ${\rho }_E:G_F\to Aut(T_p(E))\cong G{L}_2({\mathbb{Z}}_p)\subseteq G{L}_2({\mathbb{Q}}_p)$ 同时对 F 的每一个位置 v, 都有相应的同态 ${\rho }_{E,v}:G_{F,v}\hookrightarrow G_F\to G{L}_2({\mathbb{Q}}_p)$

例 1.5 (正则光滑概形). 设 F 是一个数域, X 是 F 上的一个光滑正则概形. 我们知道其平展上同调群 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X_{\overline{F}},{\mathbb{Z}}_p)$ 是一个有限生成 ${\mathbb{Z}}_p$ 模, 其上自然带有 $G_F$ 作用.

注 1.6. 我们有 $(T_p(E){\otimes }_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathbb{Q}}_p{)}^{\vee }\simeq H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(E_{\overline{F}},{\mathbb{Z}}_p){\otimes }_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathbb{Q}}_p$

现在我们可以展现这门理论的大致的图景了:

对于一般的 $\ast \in \{HT,dR,s.t,cris\}$, 我们有一个普遍的构造 $D_{\ast }(V):=(V{\otimes }_{{\mathbb{Q}}_p}{B}_{\ast }{)}^{G_K}$. 但对于一般的 D 我们要取得稍微不一样: $D(V):=(V{\otimes }_{{\mathbb{Q}}_p}B{)}^{H_K}$, 这里 $H_K\subseteq G_K$.

注 1.7. 事实上, 每一个 $B_{\ast }$ 都有一个所谓的 “半线性结构” (semi-linear structrue):$B_{\ast }$ 应该是一个拓扑 ${\mathbb{Q}}_p$-代数, 其上有连续的 $G_K$ 作用, 还要有额外的一些结构 (应该与 $G_k$ 相容) .

例 1.8. $B_{cris}$ 是一个 $K_0$-代数 (这里 $K_0$ 是 K 包含的极大非分歧扩张) , 同时有 $G_K$ 作用, 一个 Frobenius 算子 $\phi$ 和在 $B_{cris}{\otimes }_{K_0}K$ 上的分次结构. 因此 $D_{cris}(V)$ 是一个 $K_0$ 向量空间, 满足: $$\begin{array}{r}\phi (a\cdot m)=\phi (a)\cdot \phi (m),\text{和}{D}_{cris}(V){\otimes }_{K_0}K\text{上带有分次结构}\end{array}$$

注 1.9. 易知 $di{m}_{B_{\ast }^{G_K}}{D}_{\ast }(V)\le di{m}_{{\mathbb{Q}}_p}V$. 此时我们称 V 是一个 $\ast$-表示当且仅当等号成立 (等价于 $B{\otimes }_{B_{\ast }^{G_K}}{D}_{\ast }(V)\to B{\otimes }_{{\mathbb{Q}}_p}V$ 是同构) .

注 1.10.

1.	所有 $D_{\ast }{|}_{Re{p}^{\ast }}$ 都是忠实的, 特别当 $\ast =s,t$ 或是 $cris$ 时, 是全忠实的.
2.	D 是全忠实的.

下面我们来看一下这套理论与几何之间的关系:

例 1.11 (椭圆曲线). 对于椭圆曲线 $E/F$, 我们有同态: ${\rho }_{E,v}:G_K\to Aut(T_l(E){\otimes }_{{\mathbb{Z}}_l}{\mathbb{Q}}_l)\simeq G{L}_2({\mathbb{Q}}_l)$.

假设 E 在 v 处有一个好的约化:

1.	如果 $l\ne p$, 此 $G_K$-作用是非分歧的 (即 ${\rho }_{E,v}{|}_{I_K}$ 是平凡的) .
2.	如果 $l=p$, 则没有这么好的事情, 但是 Grothendieck 指出: ${\rho }_{E,v}$ 是 crystalline 表示. 进一步, 如果 E 在此只是一个坏的半稳定约化, 则 ${\rho }_{E,v}$ 是一个半稳定 (semi-stable) 表示.

例 1.12 (dR 与 HT 比较). X 是 K 上的正则光滑概形. 记 $C_p=\hat{\overline{{\mathbb{Q}}_p}}$. 我们考虑 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X_{\overline{K}},{\mathbb{Q}}_p)\otimes C_p$, 它上面带有 $G_K$-作用, 设它的维数为 $h_i$. 我们再考虑 $H^a(X,{\Omega }_X^b){\otimes }_K{C}_p$, 设它的维数为 $h_{a,b}$. 我们有结果 $h_i={\sum }_{a+b=i}{h}_{a,b}$. 类比 $\mathbb{C}$ 上的 Hodge 分解: $\mathbb{C}{\otimes }_{\mathbb{Q}}{H}_{Top}^n(X,\mathbb{Q})\simeq {\oplus }_{a+b=n}{H}^a(X,{\Omega }_X^b)$, 我们希望在前面列出的这两个量也能满足这样的关系 (尤其是它们维数相同) . 可惜的是, 这个想法在 $X=E$ 为椭圆曲线时就不成立: 前项此时为 $C_p(-1)\oplus C_p(C_p(i)\simeq C_p\otimes x^i)$, 而 $(C_P(1){)}^{G_K}=0$, 从而 $(LHS{)}^{G_K}=K$ 而 $(RHS{)}^{G_K}\simeq K\oplus K$, 因而两者不可能相同!

但令人惊讶的是, Faltings 证明了以下结论: $$\begin{array}{r}LHS\simeq {\oplus }_{a+b=i}{H}^a(X,{\Omega }_{X/K}^b){\otimes }_K{C}_p(-b)\end{array}$$

最后我们指出 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X_{\overline{K}},{\mathbb{Q}}_p){\otimes }_{{\mathbb{Q}}_p}{B}_{dR}\simeq H_{dR}^i(X/K){\otimes }_{{\mathbb{Q}}_p}{B}_{dR}$, 从而 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X_{\overline{K}},{\mathbb{Q}}_p)$ 给出一个 de-Rham 表示.

2Hodge-Tate 表示

3容许表示