用户: Cybcat/函数域上的Galois 逆问题

1$\mathbb{C}(z)$ 上的 Galois 逆问题

这一部分我们参考 ARNO FEHM, DAN HARAN AND ELAD PARAN 的文章《THE INVERSE GALOIS PROBLEM OVER $\mathbb{C}(z)$》, 介绍一个 self-contained 的初等证明. 尽管 1892 年, Hilbert 就已对 $\mathbb{Q}(z)$ 上的 Galois 逆问题给出一个肯定答案, 但是这里要介绍的巧妙方法仍然有不小的价值, 它很初等, 而且比较优美, 某种意义上说避免了很多分析学上复杂的讨论.

全纯函数环和矩阵分解

让我们回忆复变, 同时引入我们的记号. 设 $I\subset [0,+\infty ]$ 是一个非空的开区间, 即形如 $(r_1,r_2),[0,r),(r,+\infty ]$, 记复环面$$A_I:=\{z\in {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^1=\hat{\mathbb{C}}:|z|\in I\}.$$并令 ${\mathcal{H}}_I:=\mathcal{H}(A_I),{\mathcal{M}}_I:=\mathcal{M}(A_I)$ 表示 $A_I$ 上的全纯函数环和亚纯函数域. 当然, ${\mathcal{H}}_I$ 中的函数都具有唯一的 Laurent 展开. 现在, 让我们引入一个重要的 Banach 代数: $$\begin{array}{r}{\mathcal{W}}_I:=\left\{f=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{f}_k{z}^k\in {\mathcal{H}}_I:\Vert f{\Vert }_I<\infty \right\},\Vert f{\Vert }_I:=\sum _{k\in \mathbb{Z}}|f_k|\cdot \underset{z\in A_I}{\sup }|z{|}^k.\end{array}$$

检查 ${\mathcal{W}}_I$ 在 $\Vert \bullet {\Vert }_I$ 下构成 Banach 代数的事实留给读者作为练习. 现在我们探究其性质:

引理 1.1. 一些基本事实.

(0) 环 ${\mathcal{W}}_I\subset {\mathcal{H}}_I$ 是整环.

以下设 $0<r_1<r_2<+\infty$.

(1) 子环 $\mathbb{C}[z,z^{-1}]\subset {\mathcal{W}}_{(r_1,r_2)}$ 稠密.

(2) Banach 代数 ${\mathcal{W}}_{[0,r_2)},{\mathcal{W}}_{(r_1,+\infty ]}$ 是 ${\mathcal{W}}_{(r_1,r_2)}$ 的 Banach 子代数.

(3) 存在连续线性 $\mathbb{C}$-泛函 $\phi :{\mathcal{W}}_{(r_1,r_2)}\to {\mathcal{W}}_{[0,r_2)}$ 使得

证明.

$\square$

拼接 Galois 群

本节我们展示定理的核心证明过程, 通过一种拼接手段来构造 $E:=\mathbb{C}(z)$ 的某些 Galois 扩张.

定义 1.2. 设 $D\subset {\mathbb{P}}^1$ 开集, $F/E$ 是有限扩张, 且 $F\subset \mathcal{M}(D)$.

若 $F/E$ 满足下列条件: 若它 Galois, 且存在 $f\in F$ 使 $F=E(f)$ (本原元), 使得 $f$ 的 $\mathrm{Gal}(F/E)$ 共轭 $f_1,\cdots ,f_n$ 还有 $(f_{\nu }-f_{\mu }{)}^{-1},1\le \nu <\mu \le n$ 都属于 $\mathcal{H}(D)$. 则称域扩张 $F/E$ 在 $\mathbf{D}$ 上解析.

有限群 $G$ 被称为可解析实现的, 指的是存在 $D,F/E$ 使得上述条件被满足.

例 1.3. 我们来解析实现全体有限循环群, 设 $G=\mathbb{Z}/n$. 考虑一支 $f(z)=(z-1{)}^{1/n}\in {\mathcal{H}}_{[0,1)}$. 现在我们证明 $D=\mathbb{D}$ 单位圆盘与 $F=\mathbb{C}(z,f)$ 符合条件. 首先检查扩张有关的事实, $f$ 在 $\mathbb{C}(z)[X]$ 的最小多项式为 $X^n-(z-1)$, 由 Eisenstein 判别法可知它不可约, 因此 $F/E$ 是由 $f$ 生成的 $n$ 次扩张, 其次它 Galois, 因为上述最小多项式的其他根是$$f_k(z)={\zeta }^{k}f(z),\zeta :=e^{2\pi i/n}.$$这些元素都在 $F$ 中, 于是 Galois, 而且全体 Galois 作用为 ${\sigma }_k:f_i\mapsto f_{i+k}$, 故 Galois 群为 $\mathbb{Z}/n$. 最后是关于全纯性的事实, 显然 $f,f^{-1}\in \mathcal{H}(\mathbb{D})$, 于是 $f_i,(f_{\nu }-f_{\mu }{)}^{-1}$ 都在 $\mathcal{H}(D)$ 之中.

例 1.4. 设 $F=E(f)$ 在 $D$ 上解析, 任取 $\phi (z):=(az+b)/(cz+d)\in \mathbb{C}(z)$ 为一个 Mobius 变换, 那么 $F^{\prime }:=E(f\circ \phi )$ 在 ${\phi }^{-1}(D)$ 上解析, 而且 $\mathrm{Gal}(F/E)\cong \mathrm{Gal}(F^{\prime }/E)$ 通过 $\phi$ 典范同构.

只需注意到 $\phi \in \mathrm{Aut}(\mathbb{C}(z))$ 即可.

这些例子重要而且非常简单. 实际上一般来说, 因为一般开区域内都存在开圆盘, 而且由于刚性, 任意开子集中函数的值能确定整个函数在连通开区域内的表现, 所以在解析实现的定义中, $D$ 并不很紧要. 而且由于 ${\mathcal{H}}_{[0,2r_2)}\subset {\mathcal{W}}_{[0,r_2)}$, 因此我们可以选择 $f$ 使得其共轭 $f_i$ 以及诸 $(f_{\nu }-f_{\mu }{)}^{-1}$ 都属于 ${\mathcal{W}}_{[0,r_2)}$.