用户: Cybcat/复分析/第一讲

以后我们总用 $\mathbb{D}$ 表示单位圆盘, $\mathbb{C}$ 表示复平面, $\mathbb{S}$ 表示黎曼球面. 这就是我们熟悉的三个单连通黎曼面.

定义 0.1. 一个函数被称为单叶的, 指它是一个黎曼面间的解析单射.

最直接的一个观察是:

引理 0.2. 单叶函数局部上看, 是导数非 $0$ 的解析函数.

证明. 若不然, 设局部坐标卡下解析 $f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 满足 $f(0)=0$, 设 $f=\sum a_n{z}^n$ 为 Taylor 展开, 系数非零的最小下标 $k=\min \{n:a_n\ne 0\}$. 则 $f$ 在 $0$ 是 $k$ 次分歧覆盖, 由此局部上不单而矛盾.

$\square$

由此根据反函数定理可知, 单叶函数一定是到像的共形映射, 映射和逆皆解析.

通常来说, 都研究非紧的单连通区域上, 取值于 $\mathbb{C}$ 的单叶函数, 所以通过一个合理的变换, 我们把这区域解析等价 (共形) 到 $\mathbb{D}$, 在这种 normalization 下定义

定义 0.3. 一个 S 类函数指一个 $f:\mathbb{D}\to \mathbb{C}$ 的单叶函数, 满足 $f(0)=0,f^{\prime }(0)=1$.

此外作为最重要的单叶函数例子, 先提一嘴, 它叫 Köbe 函数: $$k(z):=\frac{z}{(1-z{)}^2}=\sum _{n=1}^{\infty }n{z}^n.$$读者可以看到 $k(0)=0,k^{\prime }(0)=1$, 而且 $k$ 是 $\mathbb{D}$ 上的单叶函数, 通过求根公式可知它的像为 $\mathbb{C}\backslash (-\infty ,-1/4]$. 换句话说它包含了原点圆心一个半径 $1/4$ 的圆盘.

1面积定理

接下来的研究将围绕单叶函数的控制进行. 最直接的是考虑面积.

定理 1.1 (面积定理, Gronwall 1914). 设 $f$ 是一个包含圆 $|z|=r$ 的开区域内解析的函数, 而且 $|z|=r$ 在 $f$ 下的像为一个简单闭曲线. 则其围成区域的面积为$$A(r)=\pi \left|\sum _{n\in \mathbb{Z}}n|a_n{|}^2{r}^{2n}\right|,$$这里 $f(z)={\sum }_n{a}_n{z}^n$ 为其 Laurent 展开.

证明. 由 Green 公式, $A(r)=|{\int }_{f(|z|=r)}xdy|$, 所以我们需要计算 $f$ 的实部和虚部. $$\begin{array}{rl}x(\theta )& :=\mathrm{Re}f(r{e}^{i\theta })=\frac{1}{2}\sum _n(a_n{e}^{in\theta }+\overline{a_n}{e}^{-in\theta })r^n,\\ y(\theta )& :=\mathrm{Im}f(r{e}^{i\theta })=\frac{1}{2}\sum _n(a_n{e}^{in\theta }-\overline{a_n}{e}^{-in\theta })r^n.\\ A(r)& =\left|{\int }_0^{2\pi }u(\theta )v^{\prime }(\theta )d\theta \right|.\end{array}$$带入系数, 结合幂级数的绝对一致收敛, 展开计算可知 $A(r)$ 具有上述如我们所想的表达式.

$\square$

推论 1.2. 如果 $F(z)=z+{\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{z}^{-n}$ 是 $\mathbb{C}\backslash \overline{\mathbb{D}}$ 上的单叶函数, 则$$\sum _{n=1}^{\infty }n|b_n{|}^2\le 1.$$直接推论是, 如果 $f$ 是 S 类函数, 设 $1/f=z^{-1}+{\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{z}^n$ 则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n|b_n{|}^2\le 1$.

证明. 对 $r>1$, 由单叶性, 面积定理得以适用, 于是$$A(r)=\pi \left|\sum _{n\in \mathbb{Z}}n|b_n{|}^2{r}^{2n}\right|=\pi \left|r^2-\sum _{n=1}^{\infty }n|b_n{|}^2{r}^{-2n}\right|.$$但是由于 $r$ 充分大时, 绝对值内的 $r^2-{\sum }_{n=1}^{\infty }n|b_n{|}^2{r}^{-2n}>0$, 而且它关于 $r$ 连续, 且 $A(r)\ne 0$ 总成立. 这意味着它恒正, 于是令 $r\to 1^{+}$ 就得到 ${\sum }_{n}n|b_n{|}^2\le 1$.

对于直接推论, $f$ 是 S 类函数则 $1/f(1/z)$ 显然是 $\mathbb{C}\backslash \overline{\mathbb{D}}$ 上的单叶函数. 从而我们方才证出的结论可以应用.

$\square$

2S 类函数的系数控制 (基础)

为方便后续讨论, 我们先定义所谓的平方根映射:

定义 2.1 (平方根映射). 对一个 $S$ 类函数 $f$, 存在唯二的奇函数 $g$ 使得 $g^2(z)=f(z^2)$. 它们差一个正负, 其中恰有一个是 $S$ 类函数, 将它记作 $\sqrt{f(z^2)}$.

关于上述定义的说明: 首先是良定义性, $f(z^2)=z^2(1+\cdots )$ 因此可以形式幂级数地计算其平方根, 从而定义 $g(z)=z+\cdots$. 它显然是 $\mathbb{D}$ 上的解析函数, 为了检查它的单叶性, 注意 $g(z_1{)}^2=g(z_2{)}^2$ 当且仅当 $z_1^2=z_2^2$. 而因为 Taylor 展开知道在 $0$ 的邻域内 $g$ 单, 所以结合 $\pm z$ 的离散性可知 $g$ 单叶, 从而 $z_1=-z_2$ 时 $g(z_1)=-g(z_2)$ 得到奇函数的论断.

当然即便从系数上也能直接看出其是奇函数.

接下来抵达现场的是 Bieberbach 定理

定理 2.2 (Bieberbach 1916). 若 $f$ 是 S 类函数, 记 $f=z+{\sum }_{n\ge 2}{a}_n{z}^n$ 则 $|a_2|\le 2$ 且取等当且仅当 $f(z)=e^{-i\theta }k(e^{i\theta }z)$ 是 Köbe 函数的旋转.

证明. 首先我们考虑平方根映射得的 $g(z{)}^2=f(z^2)$, 设 $g(z)=z+c_3{z}^3+c_5{z}^5+\cdots$, 然后是传统艺能, 考虑 $F(z)=1/g(1/z)$, 计算可知 $2c_3=a_2$, 再算得到 $F$ 的 Laurent 展开为 $z-\frac{a_2/2}{z}+O(z^{-3})$. 对 $F$ 用面积定理的推论现在有 $1\cdot |a_2/2{|}^2+2\cdot |\cdots {|}^2+\cdots \le 1$, 因此只关注第一项就得到 $|a_2|\le 2$.

取等时 $F$ 必须没有其他系数, 这意味着 $F(z)=z+\lambda /z$ 其中 $|\lambda |=1$. 这就意味着 $f(z)=k(-\lambda z)/(-\lambda )$ 是 Köbe 函数的旋转.

$\square$

鉴于上述定理, Bieberbach 随即提出了如下猜想:

猜想 2.3 (Bieberbach). 若 $f$ 是 S 类函数, 记 $f=z+{\sum }_{n\ge 2}{a}_n{z}^n$ 则对 $n\ge 2$ 猜测有 $|a_n|\le n$ 且取等当且仅当 $f(z)=e^{-i\theta }k(e^{i\theta }z)$ 是 Köbe 函数的旋转.

该猜想曾吸引很多数学家进行研究, 进展为:

$\bullet$ 1923 年 Löwner 证明了 $n=3$ 的情形.

$\bullet$ 1955 年 Garabedian 和 Schiffer 证明了 $n=4$ 的情形.

$\bullet$ 1968 年 Pederson 和 Ozawa 证明了 $n=6$ 的情形.

$\bullet$ 1972 年 Pederson 和 Schiffer 证明了 $n=5$ 的情形.

$\bullet$ 1984 年 Louis de Branges 完全证明了整个猜想.

另外, 用完全一样的技术我们能证明对 S 类函数 $f=z+{\sum }_n{a}_n{z}^n$ 我们有 $|a_2^2-a_3|\le 1$. 这回直接考虑 $F(z)=1/f(1/z)$ 就得到$$F(z)=z-a_2+(a_2^2-a_3)/z+O(z^{-2}).$$因此 $|a_2^2-a_3|\le 1$, 读者也可以自行研究取等. 作为推论如果 $f$ 是 S 类奇函数, 则 $|a_3|\le 1$ 而且取等在 $z/(1-z^2)$ 的旋转取到, 这正是 Köbe 函数的平方根映射.

3Köbe 的 $\frac{1}{4}$ 定理

尽管一般的 $n>2$ 的 Bieberbach 猜想似乎没有什么具体推论, 但是 $n=2$ 的情况格外有用. 最知名的应用之一就是如下的 Köbe $\frac{1}{4}$ 定理:

定理 3.1 (Köbe $\frac{1}{4}$ 定理). 若 $f$ 是 S 类函数, 则像 $f(\mathbb{D})$ 中一定包含 $\frac{1}{4}\mathbb{D}$.

证明. 假设 $0\ne c\in \mathbb{C}$ 不在 $f(\mathbb{D})$ 中, 这意味着 $F(z)=cf(z)/(c-f(z))=z+(a_2+1/c)z^2+\cdots$ 是 S 类函数. 根据 Bieberbach 定理, $|a_2+1/c|\le 2$, 结合 $|a_2|\le 2$ 和三角不等式我们得到 $|1/c|\le 4$ 即 $|c|\ge 1/4$, 结论得证.

$\square$

我们已经看到 Köbe 函数的像就恰好包含这么大一个圆盘. 这意味着这个界不能再改进, 此时 $a_2=2$ 而最小取不到的 $c=-1/4$.

这个定理也被叫做 Köbe $\frac{1}{4}$ 掩蔽定理, 这 $1/4$ 也被叫做最小掩蔽半径. 不过有趣的是, 这个定理是 1907 年 Köbe 猜的, 然后 1916 年 Bieberbach 证明的. 这结果和 Schwarz 引理以及所谓的共形半径关系很大, 在本讲义的后面我们可能会提到更多细节.

实际上还有下面一系列定理:

定理 3.2 (Köbe 偏差定理). 对 S 类函数 $f$, 我们有$$\begin{array}{rl}(1)& \frac{|z|}{(1+|z|{)}^2}\le |f(z)|\le \frac{|z|}{(1-|z|{)}^2},\\ (2)& \frac{1-|z|}{(1+|z|{)}^3}\le |f^{\prime }(z)|\le \frac{1+|z|}{(1-|z|{)}^3},\\ (3)& \frac{1-|z|}{1+|z|}\le \left|z\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\right|\le \frac{1+|z|}{1-|z|}.\end{array}$$取等都是当且仅当 $f$ 是 Köbe 函数的旋转.

有一个直接的观察是 (1) 可以推出 Köbe 的 $1/4$ 定理, 这是因为观察 $|z|=r$ 的像, 由单叶知它是简单闭曲线, 而且它必须在 $r/(1+r{)}^2$ 半径以外, 而且 $0$ 的绕数为 $1$, 令 $r\to 1^{-}$ 即得. 不过证明过程中我们还是会用到 Bieberbach 的定理, 这也不足为奇.

证明. 颇有技巧性地, 考虑$$F_z(\zeta )=\frac{f\left(\frac{\zeta +z}{1+\overline{z}\zeta }\right)-f(z)}{(1-|z{|}^2)f^{\prime }(z)}.$$容易看出它其实是圆盘做自同构后 $f$ 正规化所得者, 这样一来 $F(z)$ 是 S 类函数. 此时 $F_z^{\prime \prime }(0)=(1-|z{|}^2)\frac{f^{\prime \prime }(z)}{f^{\prime }(z)}-2\overline{z}$. 那么根据 Bieberbach 定理 $|F_z^{\prime \prime }(0)|\le 4$, 为便捷我们记 $|z|=r$, 整理也就得到$$\left|z\frac{f^{\prime \prime }(z)}{f^{\prime }(z)}-\frac{2r^2}{1-r^2}\right|\le \frac{4r}{1-r^2}.$$而注意到$$\mathrm{Re}\frac{z{f}^{\prime \prime }(z)}{f^{\prime }(z)}=r\frac{\partial }{\partial r}\ln |f^{\prime }(z)|,$$也就是 $\ln |f^{\prime }(z)|$ 沿着极方向的导数, 由此我们得到$$\frac{2r-4}{1-r^2}\le \frac{\partial }{\partial r}\ln |f^{\prime }(z)|\le \frac{2r+4}{1-r^2}.$$关于 $r$ 积分, 利用条件 $f^{\prime }(0)=1$ 就得到 (2) 的不等式: $$\frac{1-r}{(1+r{)}^3}\le |f^{\prime }(z)|\le \frac{1+r}{(1-r{)}^3}.$$然后再次对 $r$ 积分, 利用 $f(0)=0$ 就得到了 $|f(z)|\le \frac{r}{(1-r{)}^2}$.

不过要得到下界就要稍稍再麻烦一些, 假设 $|z|=r$ 的像中 $|z_r|=r$ 使得 $|f(z_r)|$ 最小. 现在假设线段 ${\beta }_r=[0,f(z_r)]$ 的原像 ${\alpha }_r:=f^{-1}({\beta }_r)$. 于是$$|f(z)|\ge |f(z_r)|={\int }_{{\alpha }_r}|f^{\prime }(t)|\cdot |dt|\ge {\int }_{{\alpha }_r}\frac{1-|t|}{(1+|t|{)}^3}|dt|\ge {\int }_0^r\frac{1-\eta }{(1+\eta {)}^3}d\eta =\frac{r}{(1+r{)}^2}.$$至此 (1) 得证. 最后想观察 (3), 我们直接观察 $|F_z(-z)|$, 利用 (1) 即得到$$\frac{|z|}{(1+|z|{)}^2}\le \frac{|f(z)|}{(1-|z{|}^2)|f^{\prime }(z)|}\le \frac{|z|}{(1-|z|{)}^2}.$$化简即得到 (3).

$\square$

4应用: 区域序列的共形收敛

现在我们研究如果单连通域 $D_n$ 是一列 [收敛] 到单连通域 $D$ 者. 那么相应的 $D_n\to \mathbb{D}$ 的共形映射是否一定程度上也收敛到 $D\to \mathbb{D}$ 的共形映射? 为了精确化我们的描述, 我们定义:

定义 4.1. 设 $D\subset \mathbb{C}$ 和 $D_n\subset \mathbb{C}$ 是一些包含 $z_0$ 的开集. 若下列三个条件满足, 则将 $D$ 称为 $\{D_n{\}}_{n\ge 1}$ 族的核:

(1) 存在常数 $r>0$ 使得$$\{z:|z-z_0|<r\}=B_r(z_0)\subset D\cap \bigcap _n{D}_n.$$(2) 任意紧集 $A\subset D$ 给定后, 存在 $n_A$ 使得 $n\ge n_A$ 时 $A\subset D_n$.

(3) 若有另一个区域 $D^{\prime }$ 也满足上述条件 (1) 和 (2), 则必须 $D^{\prime }\subset D$. 换言之 $D$ 是满足 (1)(2) 的最大者.

若 $D_n$ 的每个无穷子序列均以 $D$ 为核, 则称 $D_n$ 收敛到 $D$, 记 $D_n\to D$.

所以 $D_n\to D$ 大概的意思是, 这些开集在 $z_0$ 附近具有一致的开球, 而且在任何紧子集附近表现稳定, 最后糟糕的项不能很多, 否则选取子列会出问题.

5S 类函数的系数控制 (进阶)

尽管我们不会给出 Bieberbach 猜想那么强大的结果, 但是我们仍然可以看一些关于一般 $|a_n|$ 的估计.

定理 5.1. 设 $f$ 是 S 类函数, 则对其 $n$ 次项系数$$|a_n|\le e^2\frac{n(n+1)}{4}.$$