用户: Cybcat/复分析/第三讲

我们将在本节中大量运用前一节中学到的技巧, 得到一些很有意思的推论.

1支撑度量

回忆前一节中我们学到了如下两个结果:

定理 1.1. 设 $ds=\sigma |dz|$ 是单位圆 $\mathbb{D}$ 上的一个度量, 而 $\rho |dz|$ 是 Poincaré 度量. (这里我们要求 $\sigma >0$ 以及 $\sigma \in C^2$) 倘若 $K(\sigma )\le -1$, 则有 $\rho (z)\ge \sigma (z)$ 对一切 $z\in \mathbb{D}$ 成立.

定理 1.2. 如果 $D$ 是一个区域, ${\sigma }_j|dz|(j=1,2)$ 是两个度量, 且$$K({\sigma }_1)=-1,K({\sigma }_2)\le -1.$$且对任意边界 $\zeta \in \partial D$ 都有$$\underset{z\to \zeta }{\mathrm{liminf}}\frac{{\sigma }_1(z)}{{\sigma }_2(z)}\ge 1.$$则有 ${\sigma }_1(z)\ge {\sigma }_2(z)$ 对一切 $z\in D$.

而 Ahlfors 的聪明才智在于降低了原本的 $C^2$ 光滑性要求.

定义 1.3. 设 $\sigma |dz|$ 是区域 $D$ 内的一个度量, $\sigma \ge 0$. 如果说 $\sigma$ 满足下面两个条件, 则称它为一个超双曲度量:

(1) $\sigma$ 上半连续 (即对任意 $B$, $\{x:\sigma (x)<B\}$ 是开集).

(2) 对于每点 $z_0\in D$, 只要 $\sigma (z_0)>0$, 就存在一个邻域 $U$, 使得 $U$ 内有一个度量 $ds={\sigma }_0|dz|$ 其中 ${\sigma }_0\in C^2$ 且 $K({\sigma }_0)\le -1$, 在 $U$ 中 $\sigma \ge {\sigma }_0$ 且 $\sigma (z_0)={\sigma }_0(z_0)$.