用户: Cybcat/复分析/第二讲

在 $\mathbb{D}$ 内我们可以定义如下著名的 Poincaré 度量: $$d{s}^2=\frac{4dz\cdot d\overline{z}}{(1-|z{|}^2{)}^2}=\frac{4(d{x}^2+d{y}^2)}{(1-x^2-y^2{)}^2}.$$另外它对应的体积元$$dV=\frac{4dx\cdot dy}{(1-x^2-y^2{)}^2}.$$通过一些计算可以得到它的 Gauss 曲率是 $-1$. 另外对一条线段 $[0,r](r>0)$, 它在 Poincaré 度量下的长度为$${\int }_0^r\frac{2dx}{1-x^2}=2\mathrm{arctanh}r=\ln \frac{1+r}{1-r}.$$不等式告诉我们对于连接 $0,r$ 的任意闭曲线 $\gamma$, 我们有$$l(\gamma )={\int }_{\gamma }ds\ge {\int }_{\gamma }\frac{2|dz|}{1-|\mathrm{Re}z{|}^2}\ge {\int }_{\gamma }\frac{2|dx|}{1-x^2}\ge {\int }_0^r\frac{2dx}{1-x^2}.$$由此可知连接 $0,r$ 的闭曲线中线段最短, 所以它是测地线. 另外, 在单位圆的解析自同构下, 容易验证该度量保持不变, 由此我们得知 $\mathbb{D}$ 上全体测地线就是和 $\partial \mathbb{D}$ 正交的圆 (包括退化情况的经过圆心直线).

因此任意 $z_1,z_2\in \mathbb{D}$, 通过解析自同构变成 $r=\left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}{z}_2}\right|$ 和 $0$ 后可以计算它们之间的 Poincaré 距离为$$d(z_1,z_2)=2\mathrm{arctanh}\left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}{z}_2}\right|=\ln \frac{|1-\overline{z_1}{z}_2|+|z_1-z_2|}{|1-\overline{z_1}{z}_2|-|z_1-z_2|}.$$

另一个熟悉的模型就是上半平面模型 $\mathbb{H}=\{x+iy:y>0\}$, 此时$$d{s}^2=\frac{dz\cdot d\bar{z}}{(\mathrm{Im}z{)}^2}=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}.$$

以上这些都是 Poincaré 度量最基本的知识, 我们马上看到这些 Riemann 几何的对象在复分析世界中的巨大威力.

另外, 对于形如 $\rho (z)|dz|$ 的度量, 它是欧氏保角的, 这种度量我们称共形度量. Poincaré 度量显然是一个特例.

1Schwarz–Pick 定理

首先回忆著名复变引理:

引理 1.1 (Schwarz). 假设 $f$ 是 $\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 的全纯函数且 $f(0)=0$. 那么 $|f(z)|\le |z|$ 且 $|f^{\prime }(0)|\le 1$. 特别地如果在某处 $|f(z_0)|=|z_0|$ 或者 $|f^{\prime }(0)|=1$, 那么 $f(z)=e^{i\theta }z$ 其中 $\theta$ 是常数.

这个结果的证明很简单, 只需对 $f(z)/z$ 使用最大模原理即可.

$\bullet$ 但是故事从这里开始变得精彩起来, Pick 对上述定理重新做了诠释:

定理 1.2 (Schwarz–Pick). 设 $f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 的全纯函数, 和前文一样用 $d$ 表示 Poincaré 度量, 则$$d(f(z_1),f(z_2))\le d(z_1,z_2).$$这里等号在某 $z_1\ne z_2$ 取到当且仅当 $f\in \mathrm{Aut}(\mathbb{D})$.

证明. 因为自同构 $\mathbb{D}$ 不改变 Poincaré 度量, 不妨设 $z_1=0$ 而且 $f(0)=0$, 结合 $\mathrm{arctanh}r$ 的单调性, 欲证定理完全与 Schwarz 引理一致.

$\square$

实际上还能将它写成微分形式, 记 $\rho (z)=\frac{2}{1-|z{|}^2}$, 那么 Poincaré 度量下的长度微分为 $ds=\rho (z)|dz|$, 那么 $f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 下拉回得到 $f^{\ast }ds=\rho (f(z))|f^{\prime }(z)|dz$. 所以上述定理可以写成$$\rho (f(z))|f^{\prime }(z)|\le \rho (z).$$

不出意外的, 这条式子在 $z_0$ 处的情况其实就是$$g(z)=\frac{f\left(\frac{z+z_0}{1+\overline{z_0}z}\right)-f(z_0)}{1-\overline{f(z_0)}f\left(\frac{z+z_0}{1+\overline{z_0}z}\right)},|g^{\prime }(0)|=\left|\frac{(1-|z_0{|}^2)f^{\prime }(z_0)}{1-|f(z_0){|}^2}\right|\le 1.$$

$\bullet$ 接下来让我们迈出第二步, 既然都考虑共形不变量了, 也不是非 $\mathbb{D}$ 不可对吧!

考虑要给一个同构 $\mathbb{D}$ 的单连通区域 $D$ 赋予 Poincaré 度量, 我们使用任意同构诱导皆可, 因为它们之间只差一个 $\mathbb{D}$ 的自同构. 再进一步地, 我们的区域都不一定单连通, 假设具有覆叠映射 $h:\mathbb{D}\to X$. 这时仍有办法给黎曼面 $X$ 赋予合适的 Poincaré 度量.

自然的想法是对 $X$ 的任何足够小的局部, 使得取 $h^{-1}$ 是解析同构, 此时它将 $\mathbb{D}$ 上的度量拉回得到 $X$ 上的度量. 我们需要证明这样做不依赖于原像的选取, 假设诸 $U_i\subset \mathbb{D}$ 皆某 $U\subset X$ 的原像. 为了证明 $U_1,U_2$ 上具有一样的度量, 注意到万有覆叠是正规覆叠, 所以存在甲板映射 $f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 使得 $f(U_1)=U_2$, 那么 $f$ 是 $\mathbb{D}$ 的解析自同构, 因此它保护度量.

此外对于 $X$ 不同的覆叠映射 $\mathbb{D}\to X$, 相互之间还是差一个 $\mathbb{D}$ 的自同构, 所以换言之 $X$ 上的 Poincaré 度量不具体依赖于上面 $h$ 的选取.

所以只要黎曼面 $X$ 万有覆叠不是 $\mathbb{C},\mathbb{S}$ 就是大成功, 此时它上面就会自然带有典范的 Poincaré 度量.

$\bullet$ 度量有了, Schwarz–Pick 引理也该跟进一下了吧?

定理 1.3 (广义 Schwarz–Pick). 假设 $X_1,X_2$ 都具有 Poincaré 度量. 全纯映射 $f:X_1\to X_2$, 那么 $d_{X_2}(f(x),f(y))\le d_{X_1}(x,y)$. 或者记局部坐标 $d{s}_1={\sigma }_1(z)|dz|,d{s}_2={\sigma }_2(z)|dz|$ 为对应的长度微分, 则 ${\sigma }_2(f(z))|f^{\prime }(z)|\le {\sigma }_1(z)$.

其中等号在任意 $x\ne y$ 或任意 $z$ 处成立当且仅当 $f$ 是覆叠映射.

证明留给读者. 作为推论:

推论 1.4. 假设 $Y\subset X$ 是连通开集, 如果二者都具有 Poincaré 度量, 那么局部坐标卡下 ${\sigma }_X(z)\le {\sigma }_Y(z)$, 其中等号在任意处成立当且仅当 $Y=X$.

这个看法最 6 的地方在于它能很方便地解释很多我们在前面以前学过的结论.

定理 1.5 (Picard 小定理). 设 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}\backslash \{0,1\}$ 是一个解析函数, 则它是常数.

证明. 假设 $\rho (z)|dz|$ 是 $\mathbb{C}\backslash \{0,1\}$ 上的现在待定一个半径 $r>0$, 将 $f$ 限制在 $r\mathbb{D}$ 上, 则 $r\mathbb{D}$ 上的 Poincaré 度量为 $ds=\frac{2r|dz|}{r^2-|z{|}^2}$. 现使用广义 Schwarz 引理, $\rho (f(z))|f^{\prime }(z)|\le \frac{2r}{r^2-|z{|}^2}$ 对于任意给定的 $z,r$. 变化 $r$, 令 $r\to +\infty$ 就得到 $f^{\prime }(z)=0$ 从而 $f$ 是常数.

$\square$

某种意义上说, 我们间接地使用了 $C\backslash \{0,1\}$ 的双曲性, 但是这个证明本身将这个事实巧妙地隐藏了起来.

2Montel 正规定则

我们来看一个系列的应用.

比起原本对于一族全纯函数提的正规定则, 我们稍稍允许将 [收敛到 $\infty$] 的情况加入论域. 然而原书上的定义非常不本质, 我决定搬运 Wiki 上的版本.

定义 2.1. 设 $X,Y$ 是拓扑空间, 函数族 $\mathcal{F}:=\{f_i:X\to Y{\}}_{i\in \mathcal{I}}$. 如果 $\mathcal{F}$ 是 ${\mathrm{Mor}}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ 紧开拓扑下的预紧集 (闭包紧), 则称 $\mathcal{F}$ 为一个正规族. 特别地, 如果 $Y$ 是度量空间, 那么上述定义等价于: 对任意 $\mathcal{F}$ 中的无穷函数序列, 都存在一个子序列在 $X$ 内闭一致收敛.

更特别的, 对于 $X=D\subset \mathbb{C}$, $Y=\mathbb{S}$ 带有欧氏拓扑的情形, 此定义可以被看作原本复变书上可见的正规族定义的推广, 这时称 $\mathcal{F}$ 为 $D$ 上的一个 (广义) 正规族.

定理 2.2 (Montel). 给定 $a\ne b$ 为 $\mathbb{C}$ 上的两点. 如果 $\mathcal{F}$ 为一族 $D\to \mathbb{C}\backslash \{a,b\}$ 的函数, 则它为广义正规族. 换言之, 这个函数族只要不取某两个特定点即可.

证明. 不妨设 $a=0,b=1$, 我们仍用 $\rho (z)|dz|$ 表示 $\mathbb{C}\backslash \{0,1\}$ 上的 Poincaré 度量. 现在对任意 $z_0\in D$, 取 $\delta >0$ 使得 $B_{\delta }(z_0)=\{z:|z-z_0|<\delta \}\subset D$. 这时对 $f_i$ 在 $B_{\delta }(z_0)$ 的限制使用广义 Schwarz 引理得到$$\rho (f(z))|f^{\prime }(z)|\le \frac{2\delta }{{\delta }^2-|z-z_0{|}^2}.$$现在令 $m=\min \{\rho (w):w\in \overline{\mathbb{D}}\}$ (注意到在 $0,1$ 附近度量是发散的, 所以 $m>0$) 由此, 让我们进行分类讨论: $$z\in B_{\delta }(z_0),|f_i(z)|\le 1⟹m|f_i^{\prime }(z)|\le \frac{2\delta }{{\delta }^2-|z-z_0{|}^2}.$$而注意到 Poincaré 度量的典范性 $\rho (w)=|w{|}^{-2}\rho (w^{-1})$ 对一切 $w$, 由此得到分类的另一侧$$z\in B_{\delta }(z_0),|f_i(z)|\ge 1⟹m\frac{|f_i^{\prime }(z)|}{|f_i(z){|}^2}\le \frac{2\delta }{{\delta }^2-|z-z_0{|}^2}.$$由此, 无论如何都有$$z\in B_{\delta }(z_0)⟹m\frac{|f_i^{\prime }(z)|}{1+|f_i(z){|}^2}\le \frac{2\delta }{{\delta }^2-|z-z_0{|}^2}$$简单的数学分析告诉我们, $|f_i^{\prime }(z)|/(1+|f_i(z){|}^2)$ 在 $B_{\delta }(z_0)$ 内闭一致有界, 于是这样的 $f_i$ 构成 (广义) 正规族.

$\square$

本质上说, 上面的分类讨论源于我们对 $\mathbb{C}\backslash \{0,1\}$ 上的 $\rho (z)$ 认知不足. 但是另一方面说, 我们至少知道它在 $0,\infty$ 处表现的一些对称性, 这就足够我们给出一个一致的界.

补充, 上面的证明在最后用到了这样一个引理:

引理 2.3. 对 $U\subset \mathbb{C}$ 上的全纯函数族 $\mathcal{F}$, 有:

$|f_i^{\prime }(z)|/(1+|f_i(z){|}^2)$ 在任意紧集上一致有界当且仅当 $\mathcal{F}$ 是 (广义) 正规族.

证明. 注意到将 $\mathbb{C}$ 按照球极投影嵌入 ${\mathbb{R}}^3$ 后, 球面具有欧氏度量 $d{u}^2+d{v}^2+d{w}^2$ 拉回得到 $\frac{d{x}^2+d{y}^2}{(1+x^2+y^2{)}^2}=\frac{|dz{|}^2}{(1+|z{|}^2{)}^2}$. 因此对于 $f:D\to \mathbb{C}$ 和前述映射复合得到的 $\tilde{f}:D\to \mathbb{C}\subset \mathbb{S}$, 球面的欧氏度量拉回得到 $\frac{|f^{\prime }(z){|}^2|dz{|}^2}{(1+|f(z){|}^2{)}^2}$. 换言之欧氏长度被拉回到 $\frac{|f^{\prime }(z)|\cdot |dz|}{1+|f(z){|}^2}$. 也就是说, 上述函数一致有界当且仅当这个长度拉回的 $\rho (z)|dz|$ 的 $\rho (z)$ 一致有界, 其实就是一种 Lipschitz 条件, 这时与正规的等价性是较为标准的, 下略.

$\square$

类似地, 容易得知不取三个不同值的亚纯函数族是正规族. 此时我们使用球面的拓扑 (可以被认为来自度量, 就像我们在上面引理中看到的这样) 来描绘内闭一致收敛, 当然, 必须强调正规族的定义总只依赖于拓扑.

3Ahlfors 超双曲度量

接下来, 我们将追随 Ahlfors 的角度, 从 Poincaré 度量的另一个性质入手作进展: 它的 Gauss 曲率恒为 $-1$. 实际上, Ahlfors 是将曲率概念引入复变函数论的第一人.

我们首先祭出如下的经典公式, 作为微分几何中的经典结果, 证明略去:

引理 3.1. 考虑共形度量 $\rho (z)|dz|$, 它的曲率为$$K(\rho )=-{\rho }^{-2}\Delta \log \rho .$$

特别地, 当 $\rho (z)=1$, $\rho (z)=(\mathrm{Im}z{)}^{-1}$ 或 $\rho (z)=2/(1-|z{|}^2)$, $\rho (z)=2/(1+|z{|}^2)$ 时, 我们得到 $K=0$, $K=-1$ 或者 $K=1$, 也就是我们熟悉的常曲率抛物度量 (欧氏平面), 双曲度量 (上半平面或圆盘), 椭圆度量 (欧氏球面). 那么 Poincaré 度量其实具有这样的性质: 它是曲率不超过 $-1$ 的度量中 [最大] 的. 具体描述如下:

定理 3.2. 设 $ds=\sigma |dz|$ 是单位圆 $\mathbb{D}$ 上的一个度量, 而 $\rho |dz|$ 是 Poincaré 度量. (这里我们要求 $\sigma >0$ 以及 $\sigma \in C^2$) 倘若 $K(\sigma )\le -1$, 则有 $\rho (z)\ge \sigma (z)$ 对一切 $z\in \mathbb{D}$ 成立.

证明. 先假设 $\sigma$ 连续到 $\overline{\mathbb{D}}$, 且在单位圆周上严格大于 $0$, 这样我们能良定义$$F=\log \rho -\log \sigma .$$现在当 $|z|\to 1$ 时有 $F\to +\infty$. 由此可知 $F$ 在 $\mathbb{D}$ 内存在最小值. 考虑在 $z_0$ 处取得最小值, 倘若 $F(z_0)<0$ 我们来导出矛盾. 计算$$\Delta F{|}_{z=z_0}=\Delta (\log \rho -\log \sigma )\le ({\rho }^2-{\sigma }^2){|}_{z=z_0}<0.$$其中小于号来自 $F(z_0)<0$, 推出矛盾, 这意味着最小值 $F(z_0)\ge 0$, 因此 $\log \rho \ge \log \sigma$ 总成立.

现在要处理一般情况, 我们用 ${\sigma }_r:=r\sigma (rz)$ 代替 $\sigma$, 其中 $0<r<1$. 根据上述已经证明的结果, $\rho (z)\ge {\sigma }_r(z)=r\sigma (rz)$ 总成立, 令 $r\to 1^{-}$ 即完成了定理的证明.

$\square$

这个证明和我们见到的 PDE 中研究调和函数极值技巧相仿. 稍稍改造上述定理, 我们就得到:

定理 3.3. 如果 $D$ 是一个区域, ${\sigma }_j|dz|(j=1,2)$ 是两个度量, 且$$K({\sigma }_1)=-1,K({\sigma }_2)\le -1.$$且对任意边界 $\zeta \in \partial D$ 都有$$\underset{z\to \zeta }{\mathrm{liminf}}\frac{{\sigma }_1(z)}{{\sigma }_2(z)}\ge 1.$$则有 ${\sigma }_1(z)\ge {\sigma }_2(z)$ 对一切 $z\in D$.