用户: Cybcat/百题大过关/2017 P 代数

1.	设 $σ_{1}, \dots, σ_{n}$ 是域 $K$ 互不相同的自同构. (1) 所有自同构作用都不动的 $K$ 的子集 $⋂ K^{σ_{i}}$ 是 $K$ 的子域. (2) $σ_{1}, \dots, σ_{n}$ 是 $F$ -线性无关的 $F$ -线性映射集. (3) $[K : F] \geq n$ .
2.	设 $A, B$ 是域 $F$ 上的 $n, m$ 阶方阵, 证明 $A \otimes B$ 和 $B \otimes A$ 相似.
3.	设 $p$ 是奇素数, 证明 $p$ 是两个整数的平方和当且仅当 $p \equiv 1 mod 4$ .
4.	将对称多项式 $f (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{j_{1} < j_{2} < j_{3}} (x_{j_{1}}^{2} x_{j_{2}}^{2} x_{j_{3}} + x_{j_{2}}^{2} x_{j_{3}}^{2} x_{j_{1}} + x_{j_{3}}^{2} x_{j_{1}}^{2} x_{j_{2}})$ 写成初等对称多项式的多项式.
5.	设 $L$ 是秩 $n$ 的 $Z$ -自由模, $L^{'}$ 是其秩 $n$ 自由子模, 若 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 和 $f_{1}, \dots, f_{n}$ 分别是 $L$ 和 $L^{'}$ 的自由基且 $f_{j} = \sum a_{ij} e_{i}$ 其中 $a_{ij} \in Z$ , 证明 $[L : L^{'}] = ∣ det (a_{ij}) ∣$ .