用户: Cybcat/百题大过关/2019 P 分析 复分析

1.	设 $f$ 为区域 $\Omega$ 上的全纯函数, 给出 $|f^2|$ 和 $\log (1+|f^2|)$ 为调和函数的充要条件.
2.	设 $f$ 是 ${\mathbb{P}}^1$ 的自同构. 是否存在 $f$ 恰有两个不动点? 是否存在 $f$ 恰有一个不动点?
3.	设 $f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 为全纯函数. (1) 写出单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的 Poincare 度量 $d{s}^2$. (2) 证明 $f^{\ast }(d{s}^2)\le d{s}^2$. (3) 若 $f$ 为 $\mathbb{D}$ 的全纯自同构, 证明 $f^{\ast }(d{s}^2)=d{s}^2$. (4) 证明亏格大于 $1$ 的紧 Riemann 面上都存在 Poincare 度量.
4.	判断是否存在全纯函数族 $f_n:\mathbb{D}\to \mathbb{C}$ 同时满足: (a) $f_n(0)=0$, (b) $f_n(1/n)=1$, (c) ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n^2}\int {\int }_{\mathbb{D}}|f_n{|}^{2}dxdy=0$.
5.	设全纯函数族 $f_n:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 满足 $f_n(z)/z^6\in L^{1/2}(\mathbb{D})$(即 $p=1/2$ 的 $L^p$ 空间). 由 Montel 定理可知 $f_n$ 有收敛子列, 设极限函数 $f(z)$, 判断 $f(z)/z^6$ 是否 $L^{1/2}$ 可积?