用户: Cybcat/百题大过关/2020 P 几何 代数拓扑

1.	计算 ${\mathbb{S}}^2\vee {\mathbb{S}}^1$ 的基本群, 描述其万有覆叠空间.
2.	证明 ${\mathbb{S}}^n,{\mathbb{S}}^m$ 不同胚, ${\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m$ 不同胚, 其中 $n\ne m$ 是两个不等的正整数.
3.	设 $X={\mathbb{S}}^2\times {\mathbb{S}}^4,Y={\mathbb{S}}^2\vee {\mathbb{S}}^4\vee {\mathbb{S}}^6$, 证明二者不同伦等价.
4.	设 $M$ 是 $2k$ 维紧致可定向无边流形, $H_{k-1}(M)$ 是无挠的, 证明 $H_k(M)$ 也是无挠的.

第一题.

第一题. 使用 Van Kampen 定理进行计算, 可知一点并空间的基本群为自由积 ${\pi }_1({\mathbb{S}}^2)\ast {\pi }_1({\mathbb{S}}^1)=0\ast \mathbb{Z}=\mathbb{Z}$, 其万有覆叠空间比较类似于串珠或者糖葫芦, 大致图像为: 以上.

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第二题.

第二题.

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第三题.

第三题. 只需比对左右上同调环的杯积结构即可.

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第四题.

第四题.

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