用户: Cybcat/百题大过关/2023 P 分析 复分析

1.	(1) 给出球面 ${\mathbb{S}}^2$ 的共形结构 (即写出标准的共形度量). (2) 试用 Riemann 映射定理, 亏格 $0$ 的紧黎曼曲面结构唯一性证明单连通 Riemann 面的单值化定理.
2.	设 $f:S\to S^{\prime }$ 是紧连通 Riemann 面间的全纯映射, 证明任意 $q\in S^{\prime }$, $f^{-1}(q)$ 点的个数按重数计不依赖于 $q$ 的选取.
3.	记 ${\rho }_{\mathbb{D}}=\frac{2}{1-|z{|}^2}$, 则 $g_{\mathbb{D}}={\rho }_{\mathbb{D}}^2|dz{|}^2$ 是 $\mathbb{D}$ 上的 Poincare 度量. (1) 求证 Gauss 曲率 $K_{g_{\mathbb{D}}}=-1$. (2) 设 $g={\rho }^2|dz{|}^2$ 满足 $K_{\rho }\le -1$, 试证明 Ahlfors 定理 $g\le g_{\mathbb{D}}$, 或者说 $\rho \le {\rho }_{\mathbb{D}}$. (3) 设紧 Riemann 面 $M$ 上有两个共形度量 $g_0,g$, 满足 $0\ge K_{g_0}\ge K_g$, 试推广 (2) 的结果证明 $g_0\ge g$.