用户: Cybcat/百题大过关/2023 T 代数数论

1.	假设群 $G$ 包含有有限指数的子群, 那么群 $G$ 是否一定包含有有限指数的正规子群? 如果是, 请证明你的结论, 如果不是, 请举出反例.
2.	假设 $G$ 是一个有限群, 证明以下两条性质等价. (1) 如果 $g, h \in G$ 生成同一个循环群, 则 $g, h$ 在 $G$ 中共轭. (2) 所有 $G$ 的复表示特征标都取整数值.
3.	假设环 $R = Z [- 2]$ . (1) 求出 $R^{\times}$ . (2) 判定 $R$ 是否为 UFD.
4.	对任意奇数 $n > 0$ , 定义 $C$ -代数 $R_{n} = C [x, y] / (x^{2} - y^{n})$ , 令 $A_{n}$ 为 $R_{n}$ 的正规化. 证明 $A_{n} ≅ C [t]$ , 并求 $dim_{C} A_{n} / R_{n}$ .
5.	假设 $R$ 为交换环, $m \leq n$ 为正整数. 假设 $A \in M_{m \times n} (R)$ , $I$ 是 $A$ 的 $m \times m$ 子式生成的 $R$ -理想. 对任意 $f \in I$ , 证明存在矩阵 $B \in M_{n \times m} (R)$ 使得 $A B = f \cdot I_{m}$ .
6.	记域 $K = C (x)$ , 令 $F = C (x^{3} + x^{- 3})$ 是 $K$ 的子域. (1) 求 $[K : F]$ . (2) 以 $F$ 上的单扩张 $L = F [α]$ 的形式写下所有中间域 $F \subset L \subset K$ .
7.	假设 $f$ 是有理数上有恰好三个实根的五次不可约多项式. 请问 $f$ 是否根式可解?
8.	假设 $ρ : sl_{2} \subset gl_{2}$ 是标准表示, $S_{k}$ 是 $ρ$ 的 $k$ 次对称积. (1) 证明 $S_{k}$ 不可约. (2) 将 $S_{m} \otimes S_{l}$ 写成不可约表示的直和.
9.	假设 $e_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ 是 $R^{4}$ 的标准基. 双线性型 $(x, y) := x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3} - x_{4} y_{4}$ . 称 $R^{4}$ 的一组基标准正交指 $(f_{1}, f_{1}) = (f_{2}, f_{2}) = (f_{3}, f_{3}) = 1, (f_{4}, f_{4}) = - 1$ , 其他交叉内积为 $0$ . 现在假设 $T : R^{4} \to R^{4}$ 是 Lorentz 变换, 即 $(T x, T y)$ , 证明存在 $R^{4}$ 的标准正交基使得 $T$ 的矩阵是如下某些矩阵的分块对角阵. (a) $[\pm 1]$ , (b) $[cos θ sin θ - sin θ cos θ]$ , (c) $\pm [cosh θ sinh θ sinh θ cosh θ]$ 或者 $\pm [cosh θ - sinh θ sinh θ - cosh θ]$ , (d) 大小 $3$ 的分块, 特征值 $\pm 1$ , 使得 $(A - λ I)^{3} = 0$ 但 $(A - λ I)^{2} \neq = 0$ .

第一题.

$□$

第二题.

$□$

第三题.

$□$

第四题.

$□$

第五题.

$□$

第六题.

$□$

第七题.

第七题. 否, 因为复共轭给出分裂域的自同构, 它在根的作用是一个对换. 又因为

S_{5}

的传递子群阶被

5

整除 (轨道–稳定化子定理), 故它包含

5

阶元素, 这必须是

5

-轮换. 但易知任何

5

-轮换和对换都生成

S_{5}

, 故

f

的 Galois 群是

S_{5}

.

$□$

第八题.

$□$

第九题.

$□$

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