用户: Cybcat/百题大过关/2023 T 几何拓扑

1.	在黎曼流形 $(M,g)$ 上, 假设 $f$ 是一个光滑函数, 满足 $|\mathrm{grad}f|=1$ 处处成立, 证明 $\mathrm{grad}f$ 的积分曲线是测地线.
2.	设 $M$ 是 $[0,1]\times {\mathbb{CP}}^2$ 商 $(0,[z_0,z_1,z_2])\sim (1,[{\bar{z}}_0,{\bar{z}}_1,{\bar{z}}_2])$ 得到的空间, 计算它的全体 $\mathbb{Z}$ 系数同调群.
3.	设 $f:{\mathbb{T}}^2\to {\mathbb{RP}}^2$ 使得 $f_{\ast }:{\pi }_1({\mathbb{T}}^2)\to {\pi }_1({\mathbb{RP}}^2)$ 平凡. 是否一定有 $f$ 零伦?
4.	设 $F:(M,g)\to (M,g)$ 是等距, $p\in M$ 是不动点, 证明 $d{F}_p=-\mathrm{id}$ 在 $T_{p}M$ 上成立当且仅当 $F^2={\mathrm{id}}_M$ 且 $p$ 是离散 (isolated) 的不动点.
5.	设 $M$ 是闭的光滑流形, 证明 $M$ 是一个 ${\mathbb{S}}^1$ 上的纤维丛当且仅当 $M$ 上存在一个闭的, 无处为 $0$ 的微分 $1$-形式 $\alpha$.
6.	考虑 Einstein 度量 $(N^{n-1},g_N)$ 具有 Ricci 张量 $\mathrm{Ric}=\frac{n-2}{n-1}\lambda g_N$, $\lambda <0$, 求函数 $\rho :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}$ 使得 $(M^n,g)=(\mathbb{R}\times N,d{r}^2+{\rho }^2(r)g_N)$ 是 Einstein 度量, 满足 $\mathrm{Ric}=\lambda g$.
7.	(1) 设 $M$ 是紧, 可定向 $2n+1$ 维流形, 边界为 $N$. 考虑映射 $i:N\subset M$ 诱导 $i^{\ast }:H^n(M,\mathbb{R})\to H^n(N,\mathbb{R})$. 证明 $\dim \mathrm{Im}{i}^{\ast }=\frac{1}{2}\dim H^n(N,\mathbb{R})$. (2) 证明对一切 $n\ge 1$, 连通和 ${\#}_n{\mathbb{CP}}^2$ 不是一个可定向 $5$ 维可定向拓扑流形的边界.
8.	假设 $(M,g)$ 是一个黎曼流形, 存在唯一的丛自同构 $\mathcal{R}:{\wedge }^{2}TM\to {\wedge }^{2}TM$, 称为 $g$ 的曲率算子, 满足 $g(\mathcal{R}(W\wedge X),Y\wedge Z)=-R(W,X,Y,Z)$ 对一切 $W,X,Y,Z\in T_{p}M$. 一个黎曼度量称为具有正曲率算子的当且仅当 $\mathcal{R}$ 是正定的. (1) 证明正曲率算子的黎曼度量具有正截面曲率. (2) 设 $g$ 是 ${\mathbb{CP}}^2$ 的 FS 度量, 它有正截面曲率吗? 它有正曲率算子吗?