用户: Cybcat/百题大过关/2024 春 T 代数数论

题 1: 假设 $V$ 是有限维复线性空间, 给定 $T:V\to V$ 是线性变换. 证明:

1.	存在可对角化的线性变换 $D:V\to V$ 和幂零线性变换 $N:V\to V$, 使得 $T=D+N$, 并且 $DN=ND$.
2.	这样的 $D$ 和 $N$ 被 $T$ 唯一确定.

题 2: 假设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶正定实对称方阵, 证明 $\det (A+B)>\det (A)$.

题 3: 假设 $G$ 为取定的 $n$ 阶有限交换群. 求有多少不同的从 $G$ 到 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的群同态? 证明你的结论.

题 4: 假设 $D_{2n}$ 是阶数为 $4n$ 的二面体群. 写下 $D_{2n}$ 的不可约复表示的特征标表.

题 5: 假设 $p$ 是素数, 域 $F={\mathbb{F}}_p(t)$, $\alpha \in F$. 令 $K$ 是 $x^p-x-\alpha$ 在 $F$ 上的分裂域.

1.	证明 $K/F$ 是 Galois 扩张.
2.	求所有可能的 Galois 群 $\text{Gal}(K/F)$.

题 6: 假设 $R$ 是整环, $\text{Aut}R$ 是 $R$ 的环自同构群. 对 $\text{Aut}R$ 的有限子群 $G$, 定义$$R^G=\{r\in R\mid g(r)=r,\forall g\in G\}.$$

1.	证明 $R$ 在 $R^G$ 上整.
2.	证明如果对 $\text{Aut}R$ 的有限子群 $G$ 和 $H$ 有 $R^G=R^H$, 则 $G=H$.

题 7: 假设 $A$ 和 $B$ 都是域 $k$ 上的有限生成代数, 且有环同态 $f:A\to B$ 使得 $f$ 限制在 $k$ 上是恒等映射. 对任意 $B$ 中的极大理想 $m$, 证明 $f^{-1}(m)$ 是 $A$ 的极大理想.

题 8: 令 $W$ 是 $2\times 2$ 的迹零实矩阵组成的实线性空间, $W=\{A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})\mid \text{trace}(A)=0\}$.

1.	求 $W$ 上的对称双线性型 $⟨A,A^{\prime }⟩=\text{trace}(A{A}^{\prime })$ 的符号
2.	证明 $P\star A=PA{P}^{-1}$ 定义了 $\text{SL}(2,\mathbb{R})$ 在 $W$ 上的线性作用.
3.	利用这个作用定义群同态 $\varphi :\text{SL}(2,\mathbb{R})\to O_{2,1}$. 其中 $O_{2,1}$ 是保持符号为 $(2,1)$ 的实对称双线性的线性变换群.
4.	找到这个同态的核.

题 9: 假设 $p$ 是一个素数, $q=p^n$ 是素数幂. 考虑有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上的 $2\times 2$ 的可逆矩阵组成的有限群 $\text{GL}(2,{\mathbb{F}}_q)$. 求

1.	$\text{GL}(2,{\mathbb{F}}_q)$ 中的共轭类的个数.
2.	每个共轭类中的元素个数.