用户: Cybcat/百题大过关/2024 T 代数数论

1.	设 $q$ 是素数幂, 计算 ${\mathbb{F}}_q$ 上次数 $21$ 的首一不可约多项式的数量.
2.	给定正整数 $n$, 考虑 $\mathfrak{g}={\mathfrak{sl}}_{n+1}(\mathbb{C})$, 令 $\mathfrak{h}$ 为 $\mathfrak{g}$ 的对角矩阵构成的子空间. (1) 写出 $\mathfrak{g}$ 关于 $\mathfrak{h}$ 的 Cartan 分解 (根分解). (2) 描述 $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 根系中的所有根, 并证明你的结论.
3.	给定素数 $p$, 考虑群 $G=\left\{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ a& b\end{array}\right]:a\in {\mathbb{F}}_p,b\in {\mathbb{F}}_p^{\ast }\right\}$. 求出 $G$ 的不可约复表示的特征标表.
4.	设有限非交换单群 $G$ 满足 $|G|\le 60$, 求所有可能的 $G$.
5.	设 $q$ 是一个素数幂. (1) 证明任何 ${\mathbb{F}}_q$ 上的幂零方阵都与一个约当标准矩阵相似. (2) 计算 ${\mathbb{F}}_q$ 上所有的 $3\times 3$ 的幂零矩阵数量.
6.	给定交换环 $R$, 考虑如下 $R$-模同态构成的交换图表满足所有列和第一第三行都正合, 第二行复合为 $0$, 证明第二行也是正合的.
7.	令 $F=\mathbb{Q}[\cos \frac{\pi }{15}]$. (1) 证明 $F/\mathbb{Q}$ 是 Galois 扩张. (2) 求 $\mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$. (3) 求一个扩张链 $\mathbb{Q}=F_0\subset F_1\subset \cdots \subset F_k=F$ 使得 $[F_{i+1}:F_i]$ 皆为素数.
8.	考虑环 $R=\mathbb{Z}[\omega ]$ 其中 $\omega$ 是三次单位根. (1) 证明 $R$ 是 Euclid 整环. (2) 设 $p\ge 5$ 是素数. $\alpha \in {\mathbb{F}}_p^a\backslash {\mathbb{F}}_p$ 中的元素, 满足 ${\alpha }^3=-1$, 推导 $(\alpha -{\alpha }^{-1}{)}^2=-3$. 并证明 $p$ 在 $R$ 中不可约当且仅当 $p\equiv 2\mathrm{mod}3$.
9.	给定素数 $p$, 设 $(R,I,k)$ 是一个局部环, 满足对任意元素 $r\in R$ 均有 $r^p=r$. (1) 求剩余类域 $k$ 的全体可能. (2) 求 $R$ 的全体可能.