用户: Cybcat/CM和类域论

这篇小文章中我们将简单介绍 CM(复乘) 和 CFT(类域论) 之间的小关系.

1引子

还记得经典的 Kronecker–Weber 定理么, 它说 $\mathbb{Q}$ 上任意的 Abel 扩张 $K/\mathbb{Q}$, 都一定包含在某个分圆扩张里, 这里为了方便, 我们把分圆扩张姑且写作 $\mathbb{Q}(e^{2\pi iz})$, 其中 $z$ 是一个有理数. 那么一个很自然的问题是, 把 $\mathbb{Q}$ 换成最简单的一类数域: 虚二次域, 我们能否分类它上面的 Abel 扩张? 这件事和 CM 脱不开干系.

为什么这么说? 我们怎么理解 $j$ 不变量在这里发挥的奇妙作用? 一个很神秘的出发点是, 既然前面将 Abel 扩张和 $e^{2\pi iz}$ 联系起来, 那么一个自然的尝试是, 如果我们在 $z$ 代入一些不是有理数的东西会怎么样呢? 试试二次域里的整数, 结果发现$$z_0=\frac{1+\sqrt{-163}}{2},e^{-2\pi i{z}_0}=-e^{\pi \sqrt{163}}\approx -640320^3-744.$$这不是巧了么这不是, 注意到 $j(q)=q^{-1}+744+O(q)$ 里头也有一个 $744$. 很难不去试一试 $j(z_0)$, 一试就发现 $j(z_0)=-640320^3$ 精准无比. 类似地, 换成 $\sqrt{-67}$ 就得到 $-5280^3$. 所以 $j$-不变量是比 $e^{2\pi iz}$ 更正确的研究对象. 再联系到 $\mathbb{Q}(\sqrt{-163})$ 类数为 $1$, 我们基本就已经摸到真理的边边了.

出于某些原因, 我们知道模多项式可以用来刻画复乘椭圆曲线的 $j$-不变量, 细节参考这里, 但是徒手算 ${\Phi }_{163}(X,Y)$ 还是未免过于逆天 (如果你真的想知道, 我只能告诉你 $X^1{Y}^1$ 的系数大概有 $10^{3000}$ 这个量级. 有趣的是, 这个数是一系列不超过 $500$ 的素数乘积, 而且其中大部分素因子出现的次数是 $9$ 的倍数, mma 分解的结果如下),

{-1, 1}, {2, 2575}, {3, 783}, {5, 522}, {11, 198}, {13, 1}, {17, 171}, {23, 64}, {29, 99}, {37, 1}, {41, 36}, {47, 36}, {53, 54}, {59, 36}, {83, 18}, {89, 45}, {101, 18}, {107, 18}, {113, 18}, {131, 1}, {173, 18}, {197, 18}, {233, 9}, {281, 18}, {293, 27}, {317, 18}, {389, 9}, {461, 18}

人们早就知道 $j$-不变量对于 CM 的椭圆曲线是一个代数整数, 讨论这个数在哪个数域里显然很重要, 用模方程的计算方法看起来不靠谱. 于是古早又聪明的数学家们另有观察. 通过坚持不懈的计算, 其中类数不是 $1$ 的情况也是值得尝试的, 结果您猜怎么着, $$\begin{array}{rl}& j(\sqrt{-1})=12^3,\\ & j(\sqrt{-2})=20^3,\\ & j\left(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right)=0^3,\\ & j(\sqrt{-5})=(50+26\sqrt{5}{)}^3,\\ & j(\sqrt{-6})=(\sqrt{2}+1{)}^2(60+24\sqrt{2}{)}^3,\\ & j\left(\frac{1+\sqrt{-7}}{2}\right)=-15^3,\\ & j(\sqrt{-10})=(390+162\sqrt{5}{)}^3,\\ & j\left(\frac{1+\sqrt{-11}}{2}\right)=-32^3,\\ & j(\sqrt{-13})=(930+270\sqrt{13}{)}^3,\\ & j(\sqrt{-14})={\left(646+456\sqrt{2}+(462+322\sqrt{2})\sqrt{-1+2\sqrt{2}}\right)}^3,\\ & j\left(\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right)={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2(15+12\sqrt{5}{)}^3,\\ & j(\sqrt{-17})={\left(1395+335\sqrt{17}+(485+125\sqrt{17})\sqrt{4+\sqrt{17}}\right)}^3,\\ & j\left(\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right)=-96^3,\\ & \cdots \\ & j\left(\frac{1+\sqrt{-427}}{2}\right)=-(1249638720+159999840\sqrt{61}{)}^3.\end{array}$$

甚至还有三次扩张的情况. 其中 ${\alpha }^3-\alpha -1={\beta }^3+\beta +1=0$.

到这里, 我们基本相信了这样一个事实. $j$-不变量在虚二次域的整数格 ${\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-D})}$ 的取值, 作为代数数的次数应该等于该虚二次域的类数 $h(-D)$. 一般来说, 这些现象都来自于一个叫做 Hilbert 类域的对象:

命题 1.1 (Hilbert 类域的性质). 对任意数域 $K/\mathbb{Q}$, 存在 $K$ 的极大非分歧 Abel 扩张 $E/K$. 这里非分歧不仅要求对于素点通常意义下的非分歧成立, 也同样要求对于无穷位, $K\subset \mathbb{R}$ 的任何嵌入都能延拓为 $E\subset \mathbb{R}$ (而不是平凡地打到 $\mathbb{C}$). 该扩张满足以下性质:

•	依照上述方式定义的扩张 $E/K$ 在同构下存在唯一.
•	扩张 $E/K$ 的 Galois 群是 $K$ 的理想类群. 同构通过 Artin 互反律得到.
•	每个 ${\mathcal{O}}_K$ 的理想在 ${\mathcal{O}}_E$ 的扩理想都是主理想.
•	如果 $K$ 是虚二次域, 那么 $E$ 将由 $K$ 添加 $j({\mathcal{O}}_K)$ 得到.

当然 $j$ 不变量中还藏匿着非常丰富的信息, 尤其是常常出现的三次方, 本文的大目标是给这些结果一个合理的解释. 上面这一命题中出现的很多概念也会在后文详细展开.

2准备工作

我们假设读者已经很熟悉椭圆曲线一侧的基础事实. 现在我们希望用理想的类域论语言来叙述 CM 椭圆曲线的一些结果.

第一个结果是, 如果设虚二次域 $K$ 整数环 ${\mathcal{O}}_K$ 的类群 ${\mathrm{Cl}}_K$, 再记 ${\mathrm{El}}_K$ 为带有 ${\mathcal{O}}_K$-复乘结构的椭圆曲线的 $\mathbb{C}$-等价类. 那么第一个观察是 $\#{\mathrm{Cl}}_K=\#{\mathrm{El}}_K$. 实际上两者的对应有一个很合理的几何解释, 就是类群里元素的理想代表元, 无论取哪个, 看作 $\mathbb{C}$ 上的格子都是相似的 (其实是关于原点旋转位似的, 因为只差一个主理想), 另一方面, 如果两个理想之间差一个 $a\in \mathbb{C}$, 即 $a{I}_1=I_2$, 显然有 $a\in K$ 于是两者对应同一个理想类.

这说明我们可以给 ${\mathrm{El}}_K$ 赋予一个自然的 ${\mathrm{Cl}}_K$ 作用, 有趣的是, 由于 $\mathrm{Gal}(K^a/K)$ 可以作用在 ${\mathrm{El}}_K$ 上, 这里要给椭圆曲线一个系数在 $K^a={\mathbb{Q}}^a$ 里的模型 (因为 $j$-不变量是代数整数所以可以做到, 当然 $j$ 不变量是代数整数甚至也可以被认为是 ${\mathrm{El}}_K$ 有限的推论), 于是 Galois 群就可以作用在系数上. 这个作用实际上不依赖于模型的选取, 因为不同模型间的同构映射也可以被 Galois 作用. 所以也就可以作用在类群 ${\mathrm{Cl}}_K$ 上.

实际上 ${\mathrm{El}}_K$ 被 ${\mathrm{Cl}}_K$ 左乘的作用 $[I]\cdot [E_1]=[E_2]$ 也是 Galois 群 $\mathrm{Gal}({\mathbb{Q}}^a/\mathbb{Q})$ 作用下协变的. 而对于 Galois 作用如果它固定 $K$ 不变, 也就固定 $[I]\in {\mathrm{Cl}}_K$ 不变, 继而在 ${\mathrm{El}}_K$ 的作用穿过 ${\mathrm{Cl}}_K$, 它本质上给出了映射 $\mathrm{Gal}(K^a/K)\to {\mathrm{Cl}}_K$. 然而这个协变性的证明并不完全显然, 下面的讨论细节可以参考 GTM 151 的第 2.2 节.

上述协变性的讨论.

上述协变性的讨论. 本质上说, 它来源于先讨论同源, 然后再用消解得到一般的.

首先如果 $[\alpha ]:E\to E$ 是同源, 其中 $[\alpha ]$ 对应一个 $\alpha \in {\mathcal{O}}_K$, 那么对于代数闭域的 Galois 作用 $\sigma$, 我们声称 $\sigma ([\alpha ]):\sigma (E)\to \sigma (E)$ 也对应 $\sigma (\alpha )\in {\mathcal{O}}_K$. 即 $\sigma ([\alpha ])=[\sigma (\alpha )]$. 这是因为这个作用完全被全纯微分 ${\Omega }_E$ 上的作用所决定, 而 ${\Omega }_E$ 完全是 $E$ 的代数信息.

对于一般的理想类代表元 $I$, 可以通过消解$${\mathcal{O}}_K^m\stackrel{A}{\to }{\mathcal{O}}_K^n\to I\to 0,$$以及正合列$$0\to {\Lambda }_1\to \mathbb{C}\to E_1\to 0,$$得到长正合列$$0\to I^{-1}{\Lambda }_1\to \mathbb{C}\to (\ker E^n\stackrel{A^t}{\to }{E}^m)\to {\Lambda }_1^n/A^t{\Lambda }_1^m.$$这里 $E^n\to E^m$ 的映射乘以 $A^t$ 是一个纯代数映射, 且由全纯微分层 ${\Omega }_E^m,{\Omega }_E^n$ 上的表现决定, 受到 Galois 作用协变, 此外 $\ker A^t$ 是 $E^n$ 的一个代数子簇. 结合 ${\Lambda }_1^n/A^t{\Lambda }_1^m$ 的离散性, 我们得知 $E_2=\mathbb{C}/{\Lambda }_2=\mathbb{C}/(I^{-1}{\Lambda }_1)$ 是 $\ker A^t$ 的原点连通分支, 这个纯代数的刻画表明它也受到协变的 Galois 作用.

$\square$

读者可以相信, 这里所有合理的东西都是不依赖选取的, 内蕴的.

到这里, 如果我们相信 Hilbert 类域的存在性, 我们就从另一个角度得到了自然映射, 通过限制在 Hilbert 类域上: $\mathrm{Gal}(K^a/K)\to \mathrm{Gal}({\mathrm{HilbCF}}_K/K)\cong {\mathrm{Cl}}_K$. 这个映射某种意义上说, 和椭圆曲线并没有直接关系, 因为它甚至对一般的域 $K$ 也成立. 然而巧妙就巧妙在, 这两个映射在复乘椭圆曲线的情形, 也就是 $K$ 是虚二次域时是一样一样的.

值得注意的是, 这里以及后面的很多结果的讨论对象换成所谓的射线类域 (Ray Class Field) 也是完全可以的, 也就是说将涉及的环 (order) $\mathcal{O}={\mathcal{O}}_K$ 换成其他的, 会有一套完整的类比解决问题. 然而为了方便讨论和理解, 我们仍然只关心 ${\mathcal{O}}_K$ 的情形.

3初尝类域论

所谓类域论, 干的事就是将域 $K$ 的 Abel 扩张用 $K$ 本身的算术性质来确定. 复乘理论有趣之处就是它用一种纯纯分析的方法来解决这个技术活, 具体的程度类似于分圆理论至于 $\mathbb{Q}$. 我们在一开始尚需快速过一遍类域论经典、传统的结果.

我们的记号和大家上过的数论课相一致: $$\begin{array}{rl}L& /K:\text{有限Abel 扩张},\\ \mathfrak{P}& /\mathfrak{p}:\text{非分歧素理想},\\ ({\mathcal{O}}_L/\mathfrak{P})& /({\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p}):\text{剩余域扩张, 注意二者都是有限域}\end{array}$$

因此分解群 (Decomposition group) $D_{\mathfrak{P}}$, 即 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ 中使得 $\sigma \mathfrak{P}=\mathfrak{P}$ 者, 可以打到 $\mathrm{Gal}(({\mathcal{O}}_L/\mathfrak{P})/({\mathcal{O}}_K/\mathfrak{p}))$. 后者是一个循环群, 生成元是 Frobenius 映射 $x\mapsto x^{q_{\mathfrak{p}}}$, 这里 $q_{\mathfrak{p}}=N_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}$.

由于 $\mathfrak{P}/\mathfrak{p}$ 非分歧, 映射 ${\varphi }_{\mathfrak{P}}:D_{\mathfrak{P}}\to \mathrm{Gal}(k_{\mathfrak{P}}/k_{\mathfrak{p}})$ 具有更精确的刻画. 现在 $[L:K]=f_{\mathfrak{P}/\mathfrak{p}}{g}_{\mathfrak{p}}$, 而 $\#D_{\mathfrak{P}}=[k_{\mathfrak{P}}:k_{\mathfrak{p}}]=f_{\mathfrak{P}/\mathfrak{p}}$. 这不是巧合, 映射 ${\varphi }_{\mathfrak{P}}$ 其实是同构映射. 或者说有且仅有唯一的 $\sigma \in D_{\mathfrak{P}}$ 被打到了 Frobenius 映射. 这个 $\sigma$ 也被叫做算术 Frobenius 映射. 有意思的就来了, 由于 $L/K$ 是一个 Abel 扩张, 也就是说 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 是 Abel 群, 所以这个 $\sigma$ 不依赖于 $\mathfrak{P}$ 的选取, 因为它们被整个 Galois 群传递而 $\sigma \mathfrak{P}=\mathfrak{P}$ 就保证了其他的 $\mathfrak{P}$ 也不动. 于是下面把算术 Frob 映射记作 ${\sigma }_{\mathfrak{p}}$.

那么什么是 Artin 映射呢? 考虑 $K$ 的分式理想群中, 全体不在 $L/K$ 扩张中分歧的那些素理想生成的子群, 记作 $I$, 于是很自然地就得到映射 $\left(\frac{L/K}{\bullet }\right):I\to \mathrm{Gal}(L/K)$ 将 $\mathfrak{a}=\prod {\mathfrak{p}}^{n_{\mathfrak{p}}}\in I$ 打到 ${\prod }_{\mathfrak{p}}{\sigma }_p^{n_{\mathfrak{p}}}$. 简单吧, 这就是 Artin 映射. 下面的这个定理体现了它的功用:

定理 3.1 (Artin 互反律, 弱版本). 设 $L/K$ 是数域的有限 Abel 扩张. 那么存在理想 $\mathfrak{c}\subset {\mathcal{O}}_K$, 它的素理想分解中恰好包含全体 $L/K$ 中分歧的素理想, 具有一定次数. 满足如果 $\alpha \equiv 1\mathrm{mod}\mathfrak{c}$ 对 $\alpha \in K^{\ast }$, 那么分式理想 $(\alpha )\in I$ 就会满足$$\left(\frac{L/K}{(\alpha )}\right)=1.$$由于如果 ${\mathfrak{c}}_1,{\mathfrak{c}}_2$ 满足这条件, ${\mathfrak{c}}_1+{\mathfrak{c}}_2$ 亦然. 因此存在唯一包含关系下最大的 $\mathfrak{c}$ 使得这条件满足, 将它记作 ${\mathfrak{c}}_{L/K}$, 称为扩张 $L/K$ 的导子 (conductor).

当然, 我们也可以简单讨论哪些非分歧的素理想有 $(\frac{L/K}{\mathfrak{p}})=1$. 很明显只能是那些完全裂开的素理想, 这样剩余域里什么也没发生. 也就是必须有 $f_{\mathfrak{P}/\mathfrak{p}}=1$.

一般地引入两个记号$$\begin{array}{rl}I(\mathfrak{c})& :K\text{的分式理想群中, 与}\mathfrak{c}\text{互质者构成的乘法群}.\\ P(\mathfrak{c})& :K^{\ast }\text{中满足}\alpha \equiv 1\mathrm{mod}\mathfrak{c}\text{的元素(看成理想)构成的乘法群}.\end{array}$$那么 Artin 互反律就说对 $\alpha \in P({\mathfrak{c}}_{L/K})$ 有 $(\frac{L/K}{\alpha })=1$.

定义 3.2. 设 $\mathfrak{c}\subset {\mathcal{O}}_K$ 理想, 则 $K$ 关于 $\mathfrak{c}$ 的射线类域 $K_{\mathfrak{c}}/K$ 满足:

•	域扩张 $K_{\mathfrak{c}}/K$ 是一个有限 Abel 扩张.
•	对任何有限 Abel 扩张 $L/K$, 倘若 ${\mathfrak{c}}_{L/K}|\mathfrak{c}$, 都有 $L\subset K_{\mathfrak{c}}$.

这基本就是在刻画给定导子最大可能的 Abel 扩张.

现在我们有能力来陈述一般的类域论结果:

定理 3.3 (类域论). 关于数域的有限 Abel 扩张.

•	如果 $L/K$ 是数域有限 Abel 扩张, Artin 映射 $I({\mathfrak{c}}_{L/K})\to \mathrm{Gal}(L/K)$ 是一个满同态, 映射的核为 $(N_{L/K}{I}_L)P({\mathfrak{c}}_{L/K})$, 这里 $I_L$ 是 $L$ 的分式理想构成的群.
•	对任意数域 $K$ 的理想 $\mathfrak{c}\subset {\mathcal{O}}_K$, 存在同构下唯一的射线类域 $K_{\mathfrak{c}}$, 其导子整除 $\mathfrak{c}$. 且 $K_{\mathfrak{c}}$ 被如下的性质所唯一刻画: 扩张 $K_{\mathfrak{c}}/K$ 是 Abel 的, 且 $K$ 的素理想在 $K_{\mathfrak{c}}$ 中完全分裂者, 恰好是 $P(\mathfrak{c})$ 中的素理想.

特别地, 同时也是前文提到的情况, 对于 $\mathfrak{c}=(1)$ 平凡, 此时 $K_{\mathfrak{c}}$ 称 $K$ 的 Hilbert 类域.

注 3.4. 这自然可以看作传统二次剩余理论的推广. 对奇素数 $p,q$ 互素, 考虑 $p^{\ast }:=(-1{)}^{(p-1)/2}p\equiv 1\mathrm{mod}4$, 我们考虑域扩张 $\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast }})/\mathbb{Q}$, 此时导子为 $p\infty$(一方面这个扩张不能嵌入 $\mathbb{R}$, 另一方面判别式绝对值为 $p$, 导子整除判别式), 这是基础设定.

来看 Artin 映射 $I(p\infty )\to \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast }})/\mathbb{Q})$, 它是满同态, 它的核中有 $P(p\infty )$ 的部分, 因此商掉这部分我们就得到了映射 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }\to \{\pm 1\}$, 现在如果 $p^{\ast }$ 是模 $q$ 二次剩余, 也就意味着理想 $(q)={\mathfrak{q}}_1{\mathfrak{q}}_2$ 分裂, 否则它仍是素理想. 那么分裂的情况 $N_{\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast }})/\mathbb{Q}}({\mathfrak{q}}_1)=N_{\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast }})/\mathbb{Q}}({\mathfrak{q}}_2)=q$, 不分裂的情况 $N_{\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\ast }})/\mathbb{Q}}(q)=q^2$.

另一方面 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$ 是循环群, 它到 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的满映射唯一. 核恰好是全体模 $p$ 的二次剩余, 因此 $(q)$ 分裂当且仅当 $q$ 模 $p$ 是二次剩余, 结论得证.

4第一个应用

先介绍我们最关心的, 也是理论核心定理的:

定理 4.1. 对 $E\in {\mathrm{El}}_K$, 代数数域 $K(j(E))$ 总是同一个域, 且是 $K$ 的 Hilbert 类域.

证明.

$\square$