用户: Estwald/Jordan标准型

约定. 在本文中,

• 固定 $k$ 是一个代数闭域, $V$ 是 $n$ 维 $k$-线性空间, $\phi \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V).$

1$\lambda$-矩阵理论

整个 $\lambda$-矩阵理论的核心是如下正合列:

定理 1.1. 有正合列$$0\to k[\lambda ]{\otimes }_{k}V\stackrel{\lambda \otimes 1-1\otimes \phi }{\to }k[\lambda ]{\otimes }_{k}V\stackrel{\pi }{\to }V\to 0,$$其中 $\pi :k[\lambda ]{\otimes }_{k}V\to V$ 由双线性型 $k[\lambda ]\times V\to V,(f,v)\mapsto f(\phi )v$ 诱导而来.

证明. 我们证明 $\ker \pi \subset \mathrm{im}(\lambda \otimes 1-1\otimes \phi )$, 其余正合性容易看出.

考虑 ${\sum }_{i=1}^n{f}_i\otimes v_i\in k[\lambda ]{\otimes }_{k}V$. 由于我们关心模 $\mathrm{im}(\lambda \otimes 1-1\otimes \phi )$ 的结果, 可设 $f_i$ 都是常数. 更进一步地, 只用关注 $1\otimes v$ 这种类型的, 其在 $\pi$ 下的像即为 $v$, 结论得证.

$\square$

固定 $V$ 的一组基 $\{e_1,\cdots ,e_n\}$, 将 $V$ 与 $k^n$ 等同, 上述正合列即为经典的形式:

推论 1.2. 有正合列$$0\to k[\lambda {]}^n\stackrel{\lambda I-A}{\to }k[\lambda {]}^n\stackrel{\pi }{\to }{k}^n\to 0,$$其中 $A$ 是 $\phi$ 的表示矩阵, $\pi (f_1,\cdots ,f_n)=f_1(A)e_1+\cdots +f_n(A)e_n$.

定理 1.3 (经典 $\lambda$-矩阵理论). 方阵 $A,B$ 相似当且仅当相应的 $\lambda$-矩阵 $\lambda I-A$ 与 $\lambda I-B$ 相抵.

证明. 相似推相抵显然, 我们证明反方向. 且看交换图其中同构 $P,Q$ 是由 $\lambda I-A$ 与 $\lambda I-B$ 相抵保证的. 由正合性, 我们得到 $k[\lambda ]$-模同构 $S$. 根据 $k[\lambda ]$-线性, $S(\lambda v)=\lambda S(v)$, 即 $SAv=BSv$. 故此 $SA=BS$, $A,B$ 相似.

$\square$

自此之后, 我们便可以通过 $k[\lambda ]$ 上矩阵的相抵标准型来研究 $k$ 上矩阵的相似标准型.