用户: Estwald/Kirillov注记/Lie代数的结构理论

1泛包络代数

2Poincaré–Birkhoff–Witt 定理

定理 2.1 (定理 5.12, Poincaré–Birkhoff–Witt). 分次代数 $\mathrm{Gr}U\mathfrak{g}$ 自然同构于对称代数 $S\mathfrak{g}$, 同构由$$S^p\mathfrak{g}\to {\mathrm{Gr}}^{p}U\mathfrak{g},a_1\cdots a_p\mapsto a_1\cdots a_p(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{U}_{p-1}\mathfrak{g})$$给出, 逆映射由$${\mathrm{Gr}}^{p}U\mathfrak{g}\to S^p\mathfrak{g},a_1\cdots a_l\mapsto \{\begin{array}{rl}{a}_1\cdots a_p,& l=p\\ 0,& l<p\end{array}$$给出.

推论 2.2 (推论 5.13). 自然映射 $\mathfrak{g}\to U\mathfrak{g}$ 单.

证明. 利用定理 2.1在 $p=1$ 的情形.

$\square$

推论 2.3 (推论 5.14). 设 ${\mathfrak{g}}_1,{\mathfrak{g}}_2\subset \mathfrak{g}$ 是子代数, 满足向量空间的直和 $\mathfrak{g}={\mathfrak{g}}_1\oplus {\mathfrak{g}}_2$ (${\mathfrak{g}}_1,{\mathfrak{g}}_2$ 并不一定交换), 那么乘法映射$$U{\mathfrak{g}}_1\otimes U{\mathfrak{g}}_2\to U\mathfrak{g}$$是向量空间的同构.

证明. 遗忘为向量空间, 有同构 $U\mathfrak{g}\simeq \mathrm{Gr}U\mathfrak{g}\simeq S\mathfrak{g}$, 之后即为对称张量代数的性质.

$\square$

推论 2.4 (推论 5.15). 代数 $U\mathfrak{g}$ 无零因子.

证明. 对 $x\in U\mathfrak{g}$, $[x\ne 0]\iff [x在\mathrm{Gr}U\mathfrak{g}里的像非零]$. 利用 $\mathrm{Gr}U\mathfrak{g}\simeq S\mathfrak{g}$ 无零因子.

$\square$

定理 2.5 (定理 5.16). 由$$\mathrm{sym}(x_1\cdots x_p)=\frac{1}{p!}\sum _{s\in S_p}{x}_{s(1)}\cdots x_{s(p)}$$决定的映射 $S\mathfrak{g}\to U\mathfrak{g}$ 是 $\mathfrak{g}$-模同构.

证明. 良定性由对称张量代数的泛性质保证. $\mathfrak{g}$ 线性来源于 $\mathfrak{g}$ 在 $U\mathfrak{g}$ 上作用的 Leibniz 法则.

$\square$

3理想和换位子

4可解, 幂零 Lie 代数

5Lie 和 Engel 的定理

定理 5.1 (定理 5.33). 设 $V$ 是一个有限维实或复向量空间, $\mathfrak{g}\subset \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$ 是一个 Lie 子代数, 其所有元素皆为幂零的算子, 则存在 $V$ 的一组基, 使得在这组基下, 所有的算子 $x\in \mathfrak{g}$ 都是严格上三角的.

$♠$ 梗概: 和可解的情形类似, 关键在于找到 $0\ne v\in V$ 使得对任何 $x\in \mathfrak{g},xv=0$. 仍然是对 $\dim \mathfrak{g}$ 归纳即可.

注 5.2 (额外的注记). 在清华大学 2021 年春季举办的 “新生数学基础大赛” 中, 有这样一道习题:

设 $A,B\in M_n(\mathbb{C})$ 满足 $\mathrm{rank}(AB-BA)=1$, 证明 $A,B$ 可同时上三角化.

请读者尝试之.

6根, 半单和约化代数

在例子 5.38 中, Kirillov 使用了基础的线性代数:

命题 6.1. 设 $A$ 是有限维向量空间 $V$ 上的可对角化线性算子, 并且有着两两不同的特征值, 则 $V$ 在 $A$ 作用下的不变子空间一定是若干 $A$ 的特征子空间的直和.

证明. 设 $A$ 的全部特征值为 $\{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\}$, 考虑形如 ${\prod }_{j\ne i}(A-{\lambda }_j\mathrm{Id})$ 的算子的作用即可.

$\square$

7不变双线性型和典型 Lie 代数的半单性

8Killing 形式和 Cartan 准则

9Jordan 分解

10习题